Logistische Wachstumsgleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 27.06.2007 | | Autor: | z4k |
| Aufgabe | Wie hängt die logistische Wachstumsgleichung
[mm] N'=k*N(t)-d*N(t)^{2}
[/mm]
mit der logistischen Wachstumsfunktion
[mm] N(t)=N_{0}*e^{kt}/(1+(d/k)*N_{0}*(e^{kt}-1))
[/mm]
zusammen?
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Hallo,
mit der oben genannten Frage habe ich ein Problem. Ich stehe im Mathe-LK im moment genau zwischen 2 und 3, also zwischen 9 und 10 Punkten. Als meine Lehrerin dies feststellte, gab sie mir einen Vortrag damit sie eine leichtere Entscheidung hat.
Der Vortrag drehte sich um eine Aufgabe in dem Buch Mathematik 12.2 Leistungskurs von Bigalk/Köhler, Herausgegeben von Cornelsen, Auflage 1, auf Seite 103 Nr. 13(falls jemand das Buch zur Hand hat ;) ). Die Aufgabenbeschreibung lautet :
Der Belgier Verhulst ermittelte aufgrund von Detaildaten der 10-Jahres-Volkszählung der Jahre 1790-1840, dass die logistischen Parameter die Werte k=0,03134 und [mm] d=1,5887*10^{-10} [/mm] besaßen. Als Bezugsjahr wählte er das Jahr 1790 (t=0) mit einer Bevölkerungszahl [mm] N_{0}=3,9*10^{6}.
[/mm]
Dazu kommt noch ein Einsetzungspart, z.b wie groß war N in Jahr 1xxx.
Die Aufgaben an sich war sehr einfach, jedoch gab sie mir die genannte Fragestellung mit auf den Weg. Diese steht in keinem Bezug zur restlichen Aufgabe, steht somit auch nicht im Buch, oder wird dort weiter behandelt. Einzig die beiden Formeln stehen dort. Ausserdem wird am Anfang des Kapitels kurz auf den integralen zusammenhang zwischen einer linearen Wachsumsgleichung und einer linearen Wachstumsfunktion hingwiesen.
Klar ist, dass ich die logistische Wachstumsgleichung integrieren muss um auf die logistische Wachstumsfunktion zu kommen. Jedoch habe ich keine Ahnung wie ich mit dem N(t) verfahren soll, vor allem da man auch noch auf eine gebrochene exp. Funktion kommen soll.
Meine Frage ist somit:
Welche Regeln muss ich anwenden um diese Gleichung zu integrieren und auf welche Hindernisse muss ich beim integrieren achten?(Muss ich überhaupt integrieren?)
Falls es jemand verstehen sollte, wäre ich über eine schnelle Antwort sehr Glücklich. Auch jeder Hinweis oder Denkanstoß würde mir wahrscheinlich helfen. Falls Fragen aufkommen sollten, werde ich diese gern und schnell beantworten.
Vielen Dank, allein schon für das lesen,
z4k
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 27.06.2007 | | Autor: | chrisno |
Hallo z4k,
nimm N(t) also die gegebene Wachstumsfunktion und setze sie in die Wachstumsgleichung ein, einmal so und einmal eben quadriert.
Dann berechne N'(t) und hoffe, das nach längerem Rechnen das gleiche herauskommt.
Also: N(t) und N'(t) in die Wachstumsgleichung eingesetzt müssen auf beiden Seiten das gleiche ergeben.
Bei der Wachstumsgleichung handelt es sich um eine Differentialgleichung. Wenn ihr solche noch nicht behandelt habt (f'(x) = f(x), wie muss dann f(x) heißen?) kannst Du die nicht systematisch lösen. Dann beschränkt sich Deine Aufgabe darauf, zu zeigen, dass N(t) die Sache richtig macht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mi 27.06.2007 | | Autor: | z4k |
Hallo,
danke für die schnelle antwort! Ich werd es gleich mal (freudig-)ausprobieren.
Noch einen wunderschönen abend :)
danke, z4k
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