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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Sa 18.06.2011 | | Autor: | rammy |
| Aufgabe | | Ich bereite mich gerade für eine Prüfung vor und lese mir eine Herleitung des logistischen Wachstums durch, verstehe jedoch diese in gewissen Punkten nicht. Ich skizziere mal den Herleitungsprozess: |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \bruch{dP}{dt}=\gamma P-\alpha P^{2}, [/mm] für [mm] \alpha>0. [/mm] Wobei [mm] \gamma [/mm] die Geburtenrate und Alpha die Todesrate bezeichnet.
Hier steht dann noch: [mm] P'=\lambda [/mm] P(K-P) für [mm] \lambda,K>0. [/mm] Nun setzen wir [mm] \lambda [/mm] = [mm] \alpha [/mm] und K = [mm] \frac{\gamma}{\alpha}. [/mm] Mit der Anfangsbedingung [mm] P(0)=P_{0} [/mm] erhalten wir eine Differentialgleichung. Wir formen um und erhalten: [mm] \frac{P'}{P(K-P)}=\lambda \Rightarrow \integral{\frac{dP}{P(K-P)}}=\lambda\integral{dt} [/mm] mit [mm] K\not=P, P\not=0. [/mm] Nun folgt der erste Schritt, der mir nicht ganz klar ist, und zwar:
[mm] (\integral{\frac{dP}{P}}+\integral{\frac{dP}{(K-P)}})\frac{1}{K}=\lambda t+c_{1}. [/mm] (Wie kommt man auf: [mm] (\integral{\frac{dP}{P}}+\integral{\frac{dP}{(K-P)}})\frac{1}{K}).
[/mm]
Der Rest der Herleitung geht eigentlich auch, bis:
[mm] Pce^{-\lambda kt}=|k-P|, [/mm] c>0 [mm] \Rightarrow k-P=ce^{-\lambda ktP}, c\in [/mm] |R{0} und [mm] \Rightarrow P(t)=k(1+ce^{-\lambda kt})^{-1}.
[/mm]
Der Schluss leuchtet mir nicht ganz ein, würde es doch gerne verstehen, da es sicher nur ein Trick ist, welcher mir nicht einfällt.
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> logistisches Wachstum
>
> [mm]\bruch{dP}{dt}=\gamma P-\alpha P^{2},[/mm] für [mm]\alpha>0.[/mm] Wobei
> [mm]\gamma[/mm] die Geburtenrate und Alpha die Todesrate bezeichnet.
> Hier steht dann noch: [mm]P'=\lambda[/mm] P(K-P) für [mm]\lambda,K>0.[/mm]
> Nun setzen wir [mm]\lambda[/mm] = [mm]\alpha[/mm] und K =
> [mm]\frac{\gamma}{\alpha}.[/mm] Mit der Anfangsbedingung [mm]P(0)=P_{0}[/mm]
> erhalten wir eine Differentialgleichung. Wir formen um und
> erhalten: [mm]\frac{P'}{P(K-P)}=\lambda \Rightarrow \integral{\frac{dP}{P(K-P)}}=\lambda\integral{dt}[/mm]
> mit [mm]K\not=P, P\not=0.[/mm] Nun folgt der erste Schritt, der mir
> nicht ganz klar ist, und zwar:
>
> [mm](\integral{\frac{dP}{P}}+\integral{\frac{dP}{(K-P)}})\frac{1}{K}=\lambda t+c_{1}.[/mm]
> (Wie kommt man auf:
> [mm](\integral{\frac{dP}{P}}+\integral{\frac{dP}{(K-P)}})\frac{1}{K}).[/mm]
Da wurde eine Partialbruchzerlegung gemacht:
[mm] $\frac{1}{P*(K-P)}\ [/mm] =\ [mm] \left(\frac{1}{P}\ +\ \frac{1}{K-P}\right)*\frac{1}{K}$
[/mm]
> Der Rest der Herleitung geht eigentlich auch, bis:
> [mm]Pce^{-\lambda kt}=|k-P|,[/mm] c>0 [mm]\Rightarrow k-P=ce^{-\lambda ktP}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da ist rechts ein P in den Exponenten verrutscht ....
Richtig:
$\ k-P\ =\ [mm] c*e^{-\lambda kt}*P$
[/mm]
Nun P addieren, dann rechts P ausklammern und die
Gleichung durch den Klammerterm T dividieren.
Die Division durch T kann man auch als
Multiplikation mit [mm] T^{-1} [/mm] schreiben !
> [mm] c\in\IR\smallsetminus\{0\} [/mm] und [mm]\Rightarrow P(t)=k(1+ce^{-\lambda kt})^{-1}.[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Sa 18.06.2011 | | Autor: | rammy |
Ich danke dir ganz herzlichst! Das "P", welches im Exponent war, hatte mich etwas fertig gemacht, den Rest hatte ich schon durchschaut!
Lg
R
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