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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Marion_ |
| Aufgabe | Gegeben sind die Geraden g:[mm]\vec x[/mm]= [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]+ t [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] und
h:[mm]\vec x[/mm]= [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ -7 \end{pmatrix}[/mm]+ s [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Bestimmen Sie die Fußpunkte G auf g und H auf h des gemeinsamen Lotes von g und h. |
Hallo,
ich habe mal versucht, die Aufgabe zu lösen, aber laut meinem Lösungsbuch ist mein Ergebnis falsch. Leider habe ich absolut keine Ahnung, was daran falsch sein sollte.
Daher würde ich mich sehr über Hilfe freuen.
Mein Lösungsansatz:
Aufstellen einer Hilfsebene
[mm] E_H:([/mm] [mm]\vec x[/mm]-[mm]\vec p_h[/mm][mm] )*m_g=0
[/mm]
[mm] E_H: [/mm] ([mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm] - [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ -7 \end{pmatrix}[/mm])*[mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]=0
[mm] E_H=-2x_1+2x_2+x_3+16-12+7=0
[/mm]
[mm] E_H=-2x_1+2x_2+x_3+11=0
[/mm]
g mit [mm] E_H [/mm] schneiden:
-2(3-2t)+2*2-2+t+11=0
-6+4t+4-2+t+11=0
5t-7=0 --> t=7/5
t in g einsetzen
[mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]+ 7/5[mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
--> G(0,2/2,8/-0,6), und das ist leider falsch. Rauskommen soll G(1/2/-1).
Ich habe jetzt nur mal meinen Lösungsansatz für G hingeschrieben, für H bin ich aber genauso vorgegangen und es ist auch falsch.
Danke für eure Hilfe und Mühe.
Marion.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Fr 08.12.2006 | | Autor: | riwe |
eine variante ohne formeln:
[mm] \vec{n}=\vektor{-2\\2\\1}\times\vektor{2\\-1\\0}=\vektor{1\\2\\-2}
[/mm]
und nun löse das lgs:
[mm] \vektor{3\\0\\-2}+t\vektor{-2\\2\\1}+r\vektor{1\\2\\-2}=\vektor{8\\6\\-7}+s\vektor{2\\-1\\0}
[/mm]
das liefert t = 1 und damit aus g: G(1/2/-1). und mit s bekommst du H.
die idee: G liegt auf g und von dort aus geht es senkrecht (daher das exprodukt) nach H auf h.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Marion_ |
Hallo Riwe,
vielen Dank für deine Hilfe, aber ganz verstanden habe ich es immer noch nicht. Wie kommst du auf das?:
$ [mm] \vec{n}=\vektor{-2\\2\\1}\times\vektor{2\\-1\\0}=\vektor{1\\2\\-2} [/mm] $
Marion.
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Das ist das Kreuzprodukt der beiden RVen der Geraden. Damit bekommst du direkt den Vektor, der zu beiden Geraden orthogonal ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Fr 08.12.2006 | | Autor: | riwe |
wenn du das vektorprodukt nicht kennst, kannst du einen zu den beiden richtungsvektoren senkrechten vektor auch über das skalarprodukt finden:
[mm] -2n_1+2n_2+n_3=0
[/mm]
[mm] 2n_1 -n_2=0
[/mm]
und über eine komponente kannst du frei verfügen, wähle also z.b. [mm] n_1 [/mm] = 1.
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