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Forum "Uni-Stochastik" - Lotto und Würfel Aufgaben
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Lotto und Würfel Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Mo 05.04.2010
Autor: dbzworld

Aufgabe
1. Eine Gruppe von 20 Personen, jeder einzelne füllt ein Lottoschein aus.
a) Wie groß ist beim Lotto 6 aus 49 die Wahrscheinlichkeit genau 3 Richtige zu haben?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass von 20 Personen mindestens eine genau 3 Richtige hat?

2.
Bei einem Würfel wurden die Ecken abgeschliffen, so dass er nicht nur auf den 6 Seiten sondern auch auf den 8 Ecken liegen bleiben kann.
Die Wahrscheinlichkeit jeder Ecke ist 1/3 so groß wie die Wahrscheinlichkeit jeder Seite.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu würfeln?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?

zu 1.:
a)
relativ einfach, Hypergeometrische Verteilung:
[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3} \vektor{43 \\ 3}}{ \vektor{49 \\ 6}}=\ldots=0,0176 [/mm]
also 1,77 %

b) Hier hatte ich nun meine Schwierigkeiten, habe es dann mal mit der Biominalverteilung probiert.
P(X=k)= [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k} [/mm]
Mit n = 20 und k = 0.
Wobei ich dann nicht wusste was ich für p nehme, p = [mm] \bruch{1}{20} [/mm] oder das was ich oben herausbekommen habe p = 0,0176?
Zusätzlich habe ich mir die Gegenwahrscheinlichkeit betrachtet statt "..von 20 Personen mindestens eine genau 3 Richtige hat", habe ich mir "keine Person hat genau 3 Richtige" angeschaut.
Also habe ich dann 1-P(X=0) berechnet:
i) mit p = [mm] \bruch{1}{20} [/mm]

P(X=0)= [mm] \vektor{20 \\ 0} [/mm] * [mm] \bruch{1}{20}^0 [/mm] * (1 - [mm] \bruch{1}{20})^{20} [/mm] = [mm] \bruch{19}{20}^{20} \approx [/mm] 0,358

Dann 1-P(X=0) = 0,642 also 64 % ?

ii) mit p = 0,0176?

P(X=0)= [mm] \vektor{20 \\ 0} [/mm] * p = [mm] 0,0176^0 [/mm] * (1 - [mm] 0,0176)^{20} [/mm] = [mm] 0,9824^{20} \approx [/mm] 0,701

Dann 1-P(X=0) = 0,299 also 30 % ?

Meine Frage ist nun:
Ist der Ansatz mit der Biominalverteilung richtig, wenn ja welches p muss ich nehmen und ist mein Gegenereignis so korrekt?



zu 2.:
>"Die Wahrscheinlichkeit jeder Ecke ist 1/3 so groß wie die Wahrscheinlichkeit jeder Seite."
Also wäre dann P("Ecke gewürfelt") = 1/3*1/6= 1/18

>a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu würfeln?
Muss hier überhaupt die Ecken betrachten? Reicht also ein einfaches 1/6 als Antwort?

>b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?
Hier weiß ich jetzt nicht was ich mit den Wahrscheinlichkeiten mache, addieren oder multiplizieren?

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Lotto und Würfel Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mo 05.04.2010
Autor: MaRaQ


>  zu 1.:
>  a)
>  relativ einfach, Hypergeometrische Verteilung:
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3} \vektor{43 \\ 3}}{ \vektor{49 \\ 6}}=\ldots=0,0176[/mm]
>  
> also 1,77 %

[ok] Völlig richtig.

> b) Hier hatte ich nun meine Schwierigkeiten, habe es dann
> mal mit der Biominalverteilung probiert.
> (...)
>  Ist der Ansatz mit der Biominalverteilung richtig, wenn ja
> welches p muss ich nehmen und ist mein Gegenereignis so
> korrekt?

Hmm. Rumprobieren ist selten gut. Zunächst ist dein Ansatz mit der Binomialverteilung ja richtig. Aber was dann folgt war großenteils leider Unsinn.
Wie ist die Binomialverteilung denn definiert?
[mm]f(k) = \vektor{n\\k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}[/mm] für alle [mm]k \in \{0,1,...,n\}[/mm]
Du hast hier die Parameter n und p. n ist die Gesamtheit (hier 20 Personen) und p die Wahrscheinlichkeit für 1 Ereignis (1 Person hat genau 3 Richtige - das hast du in Aufgabenteil a) berechnet).

Nun gibt die Binomialveteilung aber nur für genau 1 k die Wahrscheinlichkeit an, dich interessiert aber: Mindestens 3 Personen haben genau 3 Richtige.
Da es für 3, 4, 5, 6, 7 , ..., 20 Personen zu aufwändig zu berechnen wäre, ist die Gegenwahrscheinlichkeit die richtige Idee.
Die korrekte Gegenwahrschienlichkeit zu "mindestens 3" ist allerdings "höchstens 2".

Sprich:
w(X = min. 3 Personen 3 Richtige) = 1 - w(X = max. 2 Personen 3 Richtige) = f(2) + f(1) + f(0)

Wobei f natürlich die Zähldichte der Binomialverteilung ist.


> zu 2.:
>  >"Die Wahrscheinlichkeit jeder Ecke ist 1/3 so groß wie
> die Wahrscheinlichkeit jeder Seite."
> Also wäre dann P("Ecke gewürfelt") = 1/3*1/6= 1/18

Obacht! Die Gesamtwahrscheinlichkeit kann nicht größer als 1 werden.
Dadurch dass du jetzt zusätzlich Ecken hast, auf denen der Würfel liegen bleiben kann, ist die Wahrscheinlichkeit eine der 6 Seiten zu würfeln nicht mehr 6 * 1/6 = 1, sondern geringer!

Du hast also:
w(Seite) = p
w(Ecke) = [mm] \bruch{p}{3} [/mm]
[mm]w(\Omega) = 6p + \bruch{8p}{3} = 1[/mm]

Diese Gleichung musst du erst einmal nach p auflösen, um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen und die Aufgabe bearbeiten zu können.

> >a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu
> würfeln?
>  Muss hier überhaupt die Ecken betrachten? Reicht also ein
> einfaches 1/6 als Antwort?
>  
> >b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige
> Ecke zu würfeln?
>  Hier weiß ich jetzt nicht was ich mit den
> Wahrscheinlichkeiten mache, addieren oder multiplizieren?
>  
> Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Lotto und Würfel Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Mo 05.04.2010
Autor: dbzworld

Vielen Dank erstmal.

Du sagtest:
>....dich interessiert aber: Mindestens 3 Personen haben genau 3 Richtige.

Ich glaube du hast die Aufgabenstellung falsch verstanden. Dort heißt es:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass von 20 Personen mindestens eine genau 3 Richtige hat?

Das Gegenereignis wäre also, keine Person hat 3 Richtige.
Somit, n = 20, k = 0 und p = 0,0176

P(X=0)= [mm] \vektor{20 \\ 0} [/mm] * p = [mm] 0,0176^0 [/mm] * (1 - [mm] 0,0176)^{20} [/mm] = [mm] 0,9824^{20} \approx [/mm] 0,701

Dann 1-P(X=0) = 0,299, somit wäre 30 % die richtige Antwort, oder?

>Obacht! Die Gesamtwahrscheinlichkeit kann nicht größer als 1 werden.
Habe ich leider völlig außer Acht gelassen...
[mm] w(\Omega) [/mm] = 6p + [mm] 8\bruch{p}{3} [/mm] = 1
[mm] \gdw [/mm] p = [mm] \bruch{3}{26} [/mm]

Somit erhalte ich für:
>a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu würfeln?
w("W'keit 4 würfeln") =  [mm] \bruch{26}{3} [/mm]
und
>b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?
w("W'keit beliebige Ecke würfeln") =  [mm] \bruch{1}{p+\bruch{p}{3}} [/mm] ?

Bezug
                        
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Lotto und Würfel Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:11 Di 06.04.2010
Autor: rabilein1


> Dann 1-P(X=0) = 0,299, somit wäre 30 % die richtige
> Antwort, oder?

Das habe ich auch raus.
  

> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu würfeln?

> w("W'keit 4 würfeln") =  [mm]\bruch{26}{3}[/mm]

Du meintest wohl [mm]\bruch{3}{26}[/mm]  , oder ?



> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?

> w("W'keit beliebige Ecke würfeln") =  [mm]\bruch{1}{p+\bruch{p}{3}}[/mm] ?

Da muss doch am Ende ein konkrete Zahl stehen und keine Formel mit einem p


Bezug
                                
Bezug
Lotto und Würfel Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Di 06.04.2010
Autor: dbzworld

>Du meintest wohl [mm]\bruch{3}{26}[/mm]  , oder ?

Ja, ich hatte fälschlicherweise 1/p berechnet...

>Da muss doch am Ende ein konkrete Zahl stehen und keine Formel mit einem p

Ich wollte nur mal sicher gehen ob der Gedanke mit der Addition überhaupt richtig ist...
mit w(Seite) = p = [mm] \bruch{3}{26} [/mm] und
w(Ecke) = [mm] \bruch{\bruch{3}{26}}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{26} [/mm]
Dann muss ich ja garnichts mehr addieren,
die Lösung für
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige
Ecke zu würfeln?  Wäre also p = [mm] \bruch{1}{26} [/mm] oder durch das Wort "beliebige" p = [mm] \bruch{8}{26}? [/mm]
Bin jetzt total verwirrt...

Bezug
                                        
Bezug
Lotto und Würfel Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Mi 07.04.2010
Autor: rabilein1


> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?
> Wäre also p = [mm]\bruch{8}{26}?[/mm]

Genau das ist es !

>  Bin jetzt total verwirrt...

Warum? Du hast es doch richtig raus gekriegt.


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