Lp-Räume und abgeschlossenheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Snarfu |
| Aufgabe | Sei [mm] 1\leq p
a) Zeigen sie, dass [mm] \{f\in L^p (\Omega) \cap L^q (\Omega ):||f||_q\leq1\} [/mm] abgeschlossen in [mm] L^p(\Omega) [/mm] ist.
b) Sei [mm] f_n \in L^p (\Omega) \cap L^q (\Omega) [/mm] und f [mm] \in L^p (\Omega). [/mm] Es gelte [mm] f_n \to [/mm] f in [mm] L^p (\Omega) [/mm] mit [mm] sup_n ||f_n||_q \leq [/mm] C und p [mm] \leq [/mm] r < q. Man zeige dass f [mm] \in L^r (\Omega) [/mm] und [mm] f_n \to [/mm] f in [mm] L^r (\Omega). [/mm] |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich das anfangen soll und wäre in beiden Fällen für Hilfe super dankbar. (Vermutlich hat die Lösung etwas mit der Interpolationsungleichung zu tun)
Vielen Dank und Liebe Grüße
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Huhu,
erstmal für dich vorweg: Was ist denn [mm] L^p [/mm] ?
Was bedeutet Konvergenz in [mm] L^p [/mm] ?
Wann ist ein Raum abgeschlossen?
Welche Beziehung besteht zwischen [mm] $L^p$ [/mm] und [mm] $L^q$ [/mm] wenn $1 [mm] \le [/mm] p < q$
Wie kannst du die Aufgaben dann vereinfachen?
Soviele Sachen, die man schon hätte zusammentragen können und ich hab noch keinen einzigen Ansatz von dir dazu gesehen.
Schade eigentlich.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Snarfu |
Danke für die Antwort!
Nun, soweit ich weiß ist [mm] L^p (\Omega) [/mm] der Raum der Funktionen für die [mm] |f|^p [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] integrierbar ist, also der Raum der Funktionen für die [mm] (\integral_{\Omega}|f(x)|^pdx)^\frac{1}{p}<\infty [/mm] ist.
a) Soweit meine Gedanken:
Wenn [mm] f\in (L^p (\Omega)\cap\L^q (\Omega)), ||f||_q \leq [/mm] 1 und [mm] 1\leq [/mm] p < q < [mm] \infty [/mm]
dann ist f [mm] \in L^q(\Omega),||f||\leq [/mm] 1
weil [mm] L^p(\Omega) \subset L^q(\Omega)
[/mm]
Die Menge [mm] \{f\in ...\} [/mm] ist abgeschlossen in [mm] L^p( \Omega) [/mm] wenn [mm] L^p \setminus \{f\in ...\} [/mm] offen ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 So 04.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo leute!
Erstens, glaube ich du hast vergessen zu sagen, dass dein Massraum
[mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ [/mm] (oder wie auch immer er genannt wird) endlich ist, denn sonst sind die [mm] $L^p$-Räume [/mm] i.A nicht ineinander enthalten, also so was wie [mm] $L^p \subseteq L^q$ [/mm] gilt nicht!
Gehen wir jetzt mal einfach davon aus, dass die Endlichkeitsannahme gegeben ist.
Zu a): Da ein normierter Vektorraum $V$ insbesondere ein metrischer Raum ist, ist eine Teilmenge $A$ genau dann abgeschlossen wenn für jede Folge in $A$ mit Grenzwert in $V$, dieser in $A$ enthalten ist, präziser bedeutet dies:
[mm] $\forall (a_n)_{n \in \IN} \subseteq [/mm] A$ mit [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n [/mm] = a [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A$.
Um dies anwenden zu können, würde ich vorschlagen, dass du den Lebesgue Konvergenzsatz in deiner Argumentation miteinbeziehst. Damit solltest du die Aufgabe a) schnell gelöst haben.
Zu b) Kann ich nur das Wiederholen, was du bereits hingeschrieben hast:
Interpolationsungleichung. Sie liefert die Aussage sofort!
Ich hoffe, ich konnte helfen
Gruss dazivo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 04.07.2010 | | Autor: | Snarfu |
Huhu, danke für die Antwort und vielen Dank für eure Geduld. Ich brate hier bei 35 Grad im Dachgeschoss vor mich hin.
Ich habe vergessen mitzuteilen das der Massraum endlich ist.
zu a)
Würde das dann etwa wie folgt aussehen?
Da p < q ist, ist [mm] L^p \subseteq L^q [/mm] und [mm] M=\{f\in L^p(\Omega\):||f||_q\leq 1\}
[/mm]
zz. Für alle [mm] (f_n)_{n\in\IN}\subseteq [/mm] M mit [mm] lim_{n\to\infty}f_n=f [/mm] ist [mm] f\in [/mm] M
Mit [mm] lim_{n\to\infty}(f_n-f)=0 [/mm] ist auch [mm] lim_{n\to\infty}|f_n-f|^p=0 [/mm] da p [mm] <\infty.
[/mm]
Für n groß genug wird [mm] g_n:=|f_n-f|^p [/mm] durch 1 majorisiert also kann man den Lebesgue Konvergenzsatz anwenden und erhält:
[mm] lim_{n\to\infty}\integral_{\Omega}||f_n-f|^p-0|dx=0
[/mm]
damit ist auch [mm] lim_{n\to\infty}\integral_{\Omega}|f_n-f|^p [/mm] dx=0 und [mm] f\in [/mm] M
zu b)
Aus dem Interpolationssatz folgt das [mm] ||f_n||_r\leq [/mm] 2C also [mm] f\in L^r(\Omega), [/mm] warum gilt [mm] f_n\to [/mm] f in [mm] L^r(\Omega)?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Mo 05.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo
Im Fall, dass der Massraum endlich ist:
oBdA wir arbeiten mit einem Wahrscheinlichkeitsraum.
Die Jensen Unlgeichung sagt uns, dass für $1 [mm] \leq [/mm] p < q < [mm] \infty [/mm] : [mm] L^q \subseteq L^p$, [/mm] denn für $f [mm] \in L^q$ [/mm] gilt [mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel_p \leq \parallel [/mm] f [mm] \parallel_q$, [/mm] also $f [mm] \in L^p$. [/mm] Daraus lässt sich deine Menge $M$ schreiben als $M = [mm] \{ f \in L^q ; \parallel f \parallel_q \leq 1 \}$. [/mm] Aber diese Menge ist dank der Stetigkeit der Normabbildung $f [mm] \mapsto \parallel [/mm] f [mm] \parallel_q$ [/mm] abgeschlossen und fertig.
Ich zweifle jedoch schwer daran, dass man annehmen sollte der Massraum soll endlich sein, denn offensichtlich ist die Aufgabe dann trivial.
Nehmen wir mal für den Moment an der Massraum ist NICHT endlich. Der Fall $p =q$ ist trivial, es reduziert sich wieder alles auf die Stetigkeit der Normabbildung. Sei nun $p < q$.
Sei [mm] $(f_n)_n \subseteq [/mm] M:= [mm] \{ g \in L^p \cap L^q ; \parallel g \parallel_q \leq 1 \}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n \to \infty} f_n [/mm] = f $ in [mm] $L^p$. [/mm] Zu zeigen ist dann: $f [mm] \in L^q$ [/mm] und [mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel_q \leq [/mm] 1$.
Es ist klar, dass $f [mm] \in L^p$, [/mm] denn [mm] $L^p$ [/mm] ist ein Banachraum. Nach Definition ist [mm] $(f_n)_n \subseteq L^q$ [/mm] beschränkt. Da [mm] $L^q$ [/mm] reflexiv ist, existiert eine schwach konvergente Teilfolge, das heisst:
[mm] $\exists (f_{n_k})_k \subseteq (f_n)_n [/mm] $ und ein [mm] $\tilde{f} \in L^q$ [/mm] mit
[mm] $\lim_{k \to \infty} \int_{\Omega} f_{n_k} [/mm] g [mm] d\mu [/mm] = [mm] \int_{\Omega} \tilde{f} [/mm] g [mm] d\mu$ [/mm] für alle $g [mm] \in L^p$. [/mm] Dieses [mm] $\tilde{f}$ [/mm] ist aber gleich $f$, denn wiederum nach Definition konvergiert [mm] $f_n$ [/mm] schwach gegen $f$, aus dem einfachen Grund, weil sie stark gegen $f$ konvergiert: zur Erinnerung: Starke konvergenz impliziert Schwache Konvergenz. Somit konvergiert auch jede Teilfolge schwach gegen $f$. Das heisst die Folge [mm] $(f_{n_k})_k$ [/mm] konvegiert in [mm] $L^q$ [/mm] schwach gegen [mm] $\tilde{f}$ [/mm] und schwach in [mm] $L^p$ [/mm] gegen $f$. Da [mm] $L^p \cap L^q$ [/mm] dicht in [mm] $L^p$ [/mm] und in [mm] $L^q$ [/mm] und der [mm] $\mu$-f.ü [/mm] eindeutigkeit schwacher Grenzwerte, schlussfoldern wir $f = [mm] \tilde{f}$ $\mu$-f.ü. [/mm]
(Bemerkung:
1) Wieso ist [mm] $L^p \cap L^q$ [/mm] dicht in [mm] $L^p$ [/mm] und in [mm] $L^q$?
[/mm]
Aus dem einfachen Grund, weil der Schnitt beider Räume die sogenannten einfachen Funktion oder Treppenfunktionen enthält und die sind nunmal dicht in den [mm] $L^r$-Räumen.
[/mm]
2) Wieso können wir schlussfolgern, dass $f = [mm] \tilde{f} \mu$-f.ü?
[/mm]
Die obige Diskussion zeigt [mm] $\int_{\Omega} fgd\mu [/mm] = [mm] \int_{\Omega} \tilde{f}gd\mu$ [/mm] für alle $g [mm] \in L^p \cap L^q$. [/mm] Eine einfache Übungsaufgabe, zeigt, dass falls solche eine Beziehung für eine Dichte Teilmenge gilt $A [mm] \subseteq L^p$, [/mm] (in unserem Fall $A = [mm] L^p \cap L^q$,) [/mm] so gilt sie auch auf ganz [mm] $L^p$).
[/mm]
Nun haben wir gezeigt, dass der Grenzwert $f [mm] \in L^q$ [/mm] ist. Jetzt bleibt nur noch die Abschätzung [mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel_q \leq [/mm] 1$ nachzuweisen. Dies ist aber jetzt einfach: Es gilt nämlich die allgemein gültige Aussage:
Konvergiert [mm] $g_n$ [/mm] schwach in einem normierten Vektorraum $(V; [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel)$ [/mm] gegen $g$, so gilt [mm] $\parallel [/mm] g [mm] \parallel \leq \liminf_{n\to \infty} \parallel g_n \parallel$.
[/mm]
Angewandt auf unsere Situation ergibt das die gewünschte Abschätzung sofort, indem du [mm] $\parallel \parallel$ [/mm] mit [mm] $\parallel \parallel_q$ [/mm] ersetzt, $g$ mit $f$ und [mm] $g_n$ [/mm] mit [mm] $f_{n_k}$.
[/mm]
Bemerkung: Es tut mir leid, dass es so lang geworden ist. Vielleicht gibt es einen offensichtlicheren schnelleren Weg zum Ziel.
Zu b) : schau dir mal die Interpolationsungleichungen an, dann solltest du den Zusammenhang sofort sehen. Falls nicht, blätter doch mal in deinem Funktionalanalysis oder Integrationstheorie Buch zu diesem Thema herum.
Ich hoffe, ich konnte helfen!!
Grüsse dazivo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Snarfu |
Vielen Dank für die ausführliche Eklärung!
Du hast mir sehr geholfen. Anhand deiner Ausführung ist mir auch aufgefallen das ich einen fehlerhaften Begriff von der schwachen Konvergenz hatte.
Danke
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