Lp(x) :L-integrierbare Räume < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Fr 07.12.2007 | | Autor: | verkackt |
Hallo liebe mathematiker,
Ich hab ein riesen Problem bei der Bearbeitung folgender Aufgabe:
Seien p,q [mm] \in [/mm] (1, [mm] \infty) [/mm] und X [mm] \subset \IR^{n} [/mm] eine beschränkte Lebesgue messbare Menge: X [mm] \subset B_{R} [/mm] (0).
Zeigen Sie, dass für alle f [mm] \in L^{p}(X) [/mm] und g [mm] \in L^{q}(X) [/mm] folgendes gilt:
1.f+g [mm] \in L^{r}(X) [/mm] für alle r [mm] \in [/mm] [1, min(p,q)].
2.fg [mm] \in L^{r}(X) [/mm] für alle r [mm] \in [/mm] [1, [mm] \bruch{pq}{p+q}] [/mm] falls [mm] \bruch{pq}{p+q} \ge [/mm] 1
3.Geben Sie ein Beispiel an mit f [mm] \in L^{p}(X) [/mm] und g [mm] \in L^{q}(X) [/mm] und fg [mm] \not\in L^{r}(X) [/mm]
für r > [mm] \bruch{pq}{p+q}.
[/mm]
4.Kann man ähnliche Ergebnisse zeigen für den fall [mm] \lambda(X)=\infty
[/mm]
Zu 1. hab ich bis jetzt: wegen Minkowski-ungleichung
[mm] \parallel [/mm] f+g [mm] \parallel_{L^{r}} \le \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{L^{r}} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] g [mm] \parallel_{L^{r}} [/mm]
Ohne Einschränkung kann man annehmen: min (p,q)=p
DAnn gilt:
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{L^{r}} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] g [mm] \parallel_{L^{r}} \le \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{L^{p}} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] g [mm] \parallel_{L^{p}} \le \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{L^{p}} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] g [mm] \parallel_{L^{q}}
[/mm]
weil r [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] q also [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{L^{r}} \le \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{L^{p}} \le \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{L^{q}}
[/mm]
Man soll noch zeigen warum dies gilt:weil r [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] q also [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{L^{r}} \le \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{L^{p}} \le \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{L^{q}}, [/mm] ich weiß aber leider nicht wie????
Zu 2. und 3. hab ich bisher nichts, weil ich eigentlich nicht verstehe, was dieser Bruch [mm] \bruch{pq}{p+q} [/mm] bedeutet!!!!
Ich hab versucht es umzuformen unh habe raus , dass
[mm] \bruch{1}{\bruch{pq}{p+q}}= (\bruch{1}{p})+(\bruch{1}{q}) [/mm] ist wobei [mm] (\bruch{1}{p})+(\bruch{1}{q})=1 [/mm] ist die Bedingung für Hölder-ungleichung.
weiter komm ich leider nicht.
zu 4. weiß ich, dass die Antwort Nein lautet, aber wie ich das beweisen soll ist mir unklar.
Ich hoffe, dass jemand mir weiter helfen kann.
Lg. V.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Fr 07.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo liebe mathematiker,
> Ich hab ein riesen Problem bei der Bearbeitung folgender
> Aufgabe:
> Seien p,q [mm]\in[/mm] (1, [mm]\infty)[/mm] und X [mm]\subset \IR^{n}[/mm] eine
> beschränkte Lebesgue messbare Menge: X [mm]\subset B_{R}[/mm] (0).
> Zeigen Sie, dass für alle f [mm]\in L^{p}(X)[/mm] und g [mm]\in L^{q}(X)[/mm]
> folgendes gilt:
> 1.f+g [mm]\in L^{r}(X)[/mm] für alle r [mm]\in[/mm] [1, min(p,q)].
> 2.fg [mm]\in L^{r}(X)[/mm] für alle r [mm]\in[/mm] [1, [mm]\bruch{pq}{p+q}][/mm]
> falls [mm]\bruch{pq}{p+q} \ge[/mm] 1
> 3.Geben Sie ein Beispiel an mit f [mm]\in L^{p}(X)[/mm] und g [mm]\in L^{q}(X)[/mm]
> und fg [mm]\not\in L^{r}(X)[/mm]
> für r > [mm]\bruch{pq}{p+q}.[/mm]
> 4.Kann man ähnliche Ergebnisse zeigen für den fall
> [mm]\lambda(X)=\infty[/mm]
>
> Zu 1. hab ich bis jetzt: wegen Minkowski-ungleichung
> [mm]\parallel[/mm] f+g [mm]\parallel_{L^{r}} \le \parallel[/mm] f
> [mm]\parallel_{L^{r}}[/mm] + [mm]\parallel[/mm] g [mm]\parallel_{L^{r}}[/mm]
> Ohne Einschränkung kann man annehmen: min (p,q)=p
> DAnn gilt:
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel_{L^{r}}[/mm] + [mm]\parallel[/mm] g
> [mm]\parallel_{L^{r}} \le \parallel[/mm] f [mm]\parallel_{L^{p}}[/mm] +
> [mm]\parallel[/mm] g [mm]\parallel_{L^{p}} \le \parallel[/mm] f
> [mm]\parallel_{L^{p}}[/mm] + [mm]\parallel[/mm] g [mm]\parallel_{L^{q}}[/mm]
> weil r [mm]\le[/mm] p [mm]\le[/mm] q also [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel_{L^{r}} \le \parallel[/mm]
> . [mm]\parallel_{L^{p}} \le \parallel[/mm] . [mm]\parallel_{L^{q}}[/mm]
> Man soll noch zeigen warum dies gilt:weil r [mm]\le[/mm] p [mm]\le[/mm] q
> also [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel_{L^{r}} \le \parallel[/mm] .
> [mm]\parallel_{L^{p}} \le \parallel[/mm] . [mm]\parallel_{L^{q}},[/mm] ich
> weiß aber leider nicht wie????
Tipp: ![[]](/images/popup.gif) Ungleichung der verallgemeinerten Mittel.
> Zu 2. und 3. hab ich bisher nichts, weil ich eigentlich
> nicht verstehe, was dieser Bruch [mm]\bruch{pq}{p+q}[/mm]
> bedeutet!!!!
> Ich hab versucht es umzuformen unh habe raus , dass
> [mm]\bruch{1}{\bruch{pq}{p+q}}= (\bruch{1}{p})+(\bruch{1}{q})[/mm]
> ist wobei [mm](\bruch{1}{p})+(\bruch{1}{q})=1[/mm] ist die Bedingung
> für Hölder-ungleichung.
Die Erkenntnis [mm]\bruch{1}{\bruch{pq}{p+q}}= (\bruch{1}{p})+(\bruch{1}{q})[/mm] ist schon ganz gut.
Der Trick besteht darin, die Höldersche Ungleichung auf [mm](fg)^r[/mm] bei geschickter Wahl der Exponenten anzuwenden. Ich glaube, du musst dafür [mm]p_1=p/r[/mm] und [mm]q_1=q/r[/mm] nehmen.
> weiter komm ich leider nicht.
> zu 4. weiß ich, dass die Antwort Nein lautet, aber wie ich
> das beweisen soll ist mir unklar.
Ich glaube, du sollst nur zeigen, warum der Beweis aus 1,2,3 nicht funktioniert, also welcher Schritt nicht geht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 09.12.2007 | | Autor: | verkackt |
Hi, und danke für deine Antwort.Ich weiß aber leider immer noch nicht, wie ich hier die Ungleichung der verallgemeinerten Mittel benutzen kann.Bin ein wenig durcheinander, es wäre sehr lieb, wenn einer mir weiter helfen könnte!
Lg. V.
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Hi,
> Hi, und danke für deine Antwort.Ich weiß aber leider immer
> noch nicht, wie ich hier die Ungleichung der
> verallgemeinerten Mittel benutzen kann.Bin ein wenig
> durcheinander, es wäre sehr lieb, wenn einer mir weiter
> helfen könnte!
> Lg. V.
es geht doch darum zu zeigen, dass fuer [mm] $X\subset \mathbb{R}^n$ [/mm] beschraenkt, und [mm] $1\le p\le [/mm] q [mm] <\infty$ [/mm] folgt, dass
[mm] $\|f\|_p\le C\|f\|_q$
[/mm]
oder?
Das ist aber eigentlich nichts als einmalige anwendung der hoelder-ungleichung.
[mm] $\|f\|_p^p =\|f^p\|_1$
[/mm]
und mit [mm] $r:=q/p\ge [/mm] 1$ und $1/r+1/s=1$
[mm] $\le \|f^p\|_r \cdot \| [/mm] 1 [mm] \|_s [/mm] = [mm] \|f^q\|_1^{1/r}\cdot [/mm] C [mm] \mu(X)$.
[/mm]
oder so aehnlich, ich denke das prinzip ist klar. rechts steht jetzt schon fast die q-norm von f also bist du so gut wie fertig.
gruss
matthias
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