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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Ein 01-Signal gelangt über n Zwischenstationen vom Sender zum Empfänger. Jede Station gibt das Signal, jeweils unabhängig von den anderen, mit Wahrscheinlichkeit p korrekt, mit Wahrscheinlichkeit q=1-p verfälscht an die nächste Station weiter. Was ist die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{n}, [/mm] dass das ursprüngliche Signal korrekt beim Empfänger ankommt ?
Berechnen sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infinity} p_{n}.
[/mm]
Hinweis: Betrachten sie die Binomial-Entwicklung von [mm] (p-q)^n [/mm] oder stellen sie eine Rekursionsgleichung für [mm] p_{n} [/mm] auf. |
Binomial-Entwicklung? Rekursionsgleichung? schade, dazu könnte ruhig auch mal was im skript stehen... :-(
das ergebnis müsste doch relativ einfach zu berechnen sein, oder?
ich mein, wenn die Anzahl der Verfälschungen gerade ist, müsste das Signal ja korrekt ankommen, andernfalls inkorrekt.
Aber wie kann ich das jetzt in eine Formel packen ???
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Hi,
die Aufgabe ist doch bestimmt von Prof. G. Kersting, stimmts ? :)
Meine Schwester hat nämlich genau das selbe Problem. Naja, versuchen wir das mal zu lösen (bzw. dich auf den Pfad der Weisheit zu bringen): ;)
Sei [mm] p_{n} [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass die Station [mm] S_{n} [/mm] die von [mm] S_{0} [/mm] gesendete Nachricht enthält.
p [mm] \in [/mm] (0,1) sei dabei die Wahrscheinlichkeit für die korrekte Übertragung von [mm] S_{i} [/mm] nach [mm] S_{i+1}, [/mm] i = 0,...,n-1.
Jetzt können wir uns erstmal ein Modell zusammen basteln, dass wie folgt aussieht:
[mm] M_{n} [/mm] := { [mm] (m_{0}, [/mm] ... , [mm] m_{n-1}) [/mm] | [mm] m_i \in [/mm] {0,1}, 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n-1 }
wobei [mm] m_{i} [/mm] = Nachricht von [mm] S_{i} [/mm] nach [mm] S_{i+1}
[/mm]
Das Ereignis können wir wie folgt definieren:
[mm] E_{l} [/mm] := {m [mm] \in M_{n} [/mm] | [mm] m_{0} [/mm] = [mm] m_{l-1} [/mm] }, 1 [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] n
d.h. [mm] E_{l} [/mm] = [mm] S_{l} [/mm] enthält die korrekte Nachricht.
mit [mm] p_{l} [/mm] = [mm] P(E_{l}), [/mm] 1 [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] n.
Jetzt können wir [mm] p_{n} [/mm] rekursiv definieren, und zwar wie folgt:
[mm] p_{1} [/mm] = 1 (Die erste Station besitzt trivialerweise die korrekte Nachricht)
[mm] p_{n} [/mm] = [mm] P(E_{n})
[/mm]
= [mm] P(E_{n-1} \cap E_{n}) [/mm] + ....
= ....
Für den Anfang soll das erstmal genug sein. Ab jetzt ist es nicht mehr so schwer.
Gruß
Thomas
P.s.: Rekursionsgleichungen lernt man normalerweise in Analysis.
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