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Ich wollte mir gerne den MLS für eine diskrete Markov Kette erarbeiten, wie ![[]](/images/popup.gif) hier.
Jedoch ist mir auf der pdf-Seite 2 der Schritt von Gleichung (4) nach (5) nicht klar. Hab dies bereits durch andere Quellen ausfindig zu machen, doch leider wird genau der Schritt als 'klar' angenommen.
Hat jemand ein Tipp für mich?
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Hallo,
Um die Gleichheit von (4) und (5) zu sehen, braucht man nur die Gleichheit
[mm] $\prod_{t=2}^{n}p_{x_{t-1},x_{t}} [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{k}p_{ij}^{n_{ij}}$
[/mm]
einzusehen.
Dabei bezeichnet $n$ die Länge der Kette und $k$ die Anzahl der Zustände. [mm] $n_{ij}$ [/mm] soll die Anzahl der Übergänge von i nach j innerhalb der Kette beschreiben.
Bei der Umformung oben passiert also keinerlei tiefe Mathematik, sondern der Ausdruck wird nur mit Hilfe von neuen Definitionen (hier mit Hilfe von [mm] $n_{ij}$) [/mm] umgeschrieben.
Statt alle Übergangswahrscheinlichkeiten [mm] $p_{x_{t-1},x_{t}}$ [/mm] einzeln in das Produkt aufzunehmen, wird nun gezählt, wie oft jeder Übergang vorkommt (und das wird als [mm] $n_{ij}$ [/mm] definiert).
Dann wird im rechten Term zusammengefasst als: Der Übergang von $i$ nach $j$ kommt [mm] $n_{ij}$-mal [/mm] vor, also schreiben wir [mm] $p_{ij}^{n_{ij}}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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Also Sinn macht das für mich schon, dass dies anders aufgefasst wird.
Die eingeführten Definitionen sind für mich nicht mathematisch genug und fehlen zT. Sie sind wenn nur in Textform.
Auf der linken Seite hab ich n-1 Terme die multipliziert werden. Auf der rechten Seite [mm] k*k*(n_{11}+n_{12}+...n_{1k}+...+n_{kk}) [/mm] Terme.
In der Klammer sollen alle Exponenten aufsummiert werden um auch die Übergänge einzeln [mm] (p^t [/mm] = p*...*p, also t-mal) aufzufassen.
Nun müsste soetwas wie n-1 = [mm] k*k*(n_{11}+n_{12}+...n_{1k}+...+n_{kk}) [/mm] gelten.
nun fehlt mir noch die genaue zu Ordnung.
ein [mm] p_{x_{t-1}x_t} [/mm] (für ein t) entspricht einem [mm] p_{ij} [/mm] für ein geeignetes i und j aus {1,....,k}. Nun können mehrere [mm] p_{x_{t-1}x_t} [/mm] (also mehrere t's), die selbe Wkt [mm] p_{ij} [/mm] darstellen.
Also ich versuch das mal auszudrücken, wenn [mm] n_{ij} [/mm] := [mm] |\{t : p_{x_{t-1}x_t} = p_{ij}\}| [/mm] für i und j fest. [mm] (i,j\in\{1,...,k\} [/mm] für [mm] n\in\IN)
[/mm]
[mm] \produkt_{t=2}^{n}p_{x_{t-1}x_t}
[/mm]
= [mm] \produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}\not=i, x_t \not= j}^{n}p_{x_{t-1}x_t}\*\produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}=i, x_t = j}p_{x_{t-1}x_t}
[/mm]
= [mm] \produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}\not=i, x_t \not= j}^{n}p_{x_{t-1}x_t}\*\produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}=i, x_t = j}p_{ij}
[/mm]
= [mm] \produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}\not=i, x_t \not= j}^{n}p_{x_{t-1}x_t} \*p_{ij}^{n_{ij}}
[/mm]
So kann man für jede gewählte Kombination ij [mm] \in\{1,...,k\}\times\{1,...,k\} [/mm] den Term [mm] p_{ij}^{n_{ij}} [/mm] ausklammern. Damit jeder Term [mm] p_{ij}^{n_{ij}} [/mm] erfasst wird, muss man noch die Indexe i und j jeweils durchlaufen lassen:
[mm] \produkt_{j=1}^k \produkt_{i=1}^k p_{ij}^{n_{ij}}
[/mm]
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Hallo,
> Also Sinn macht das für mich schon, dass dies anders
> aufgefasst wird.
> Die eingeführten Definitionen sind für mich nicht
> mathematisch genug und fehlen zT. Sie sind wenn nur in
> Textform.
Ja
> Auf der linken Seite hab ich n-1 Terme die multipliziert
> werden. Auf der rechten Seite
> [mm]k*k*(n_{11}+n_{12}+...n_{1k}+...+n_{kk})[/mm] Terme.
Nein, es sind [mm] $(n_{11}+n_{12}+...n_{1k}+...+n_{kk})$ [/mm] Terme (ohne $k*k$).
> In der Klammer sollen alle Exponenten aufsummiert werden
> um auch die Übergänge einzeln [mm](p^t[/mm] = p*...*p, also t-mal)
> aufzufassen.
>
> Nun müsste soetwas wie n-1 =
> [mm]k*k*(n_{11}+n_{12}+...n_{1k}+...+n_{kk})[/mm] gelten.
Ohne k*k ist das richtig.
> nun fehlt mir noch die genaue zu Ordnung.
> ein [mm]p_{x_{t-1}x_t}[/mm] (für ein t) entspricht einem [mm]p_{ij}[/mm]
> für ein geeignetes i und j aus {1,....,k}.
Ja.
> Nun können
> mehrere [mm]p_{x_{t-1}x_t}[/mm] (also mehrere t's), die selbe Wkt
> [mm]p_{ij}[/mm] darstellen.
Ja.
> Also ich versuch das mal auszudrücken, wenn [mm]n_{ij}[/mm] := [mm]|\{t : p_{x_{t-1}x_t} = p_{ij}\}|[/mm]
> für i und j fest.
Diese Def. ist nicht ganz sauber. Es gibt Probleme, wenn mehrere Übergangswahrscheinlichkeiten gleich sind, z.B. [mm] $p_{12} [/mm] = [mm] p_{23}$ [/mm] usw. Besser:
[mm] $n_{ij} [/mm] := [mm] |\{t \in \{2,...,n\}: x_{t-1} = i, x_{t} = j\}|$.
[/mm]
> [mm](i,j\in\{1,...,k\}[/mm] für [mm]n\in\IN)[/mm]
> [mm]\produkt_{t=2}^{n}p_{x_{t-1}x_t}[/mm]
> = [mm]\produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}\not=i, x_t \not= j}^{n}p_{x_{t-1}x_t}\*\produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}=i, x_t = j}p_{x_{t-1}x_t}[/mm]
Hier ist nicht klar, was i und j sind. Dadurch ist die Umformung nicht so schön. (Sie stimmt aber für jedes beliebige feste i und j.
> = [mm]\produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}\not=i, x_t \not= j}^{n}p_{x_{t-1}x_t}\*\produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}=i, x_t = j}p_{ij}[/mm]
>
> = [mm]\produkt_{t\in\{2,...,n\}, x_{t-1}\not=i, x_t \not= j}^{n}p_{x_{t-1}x_t} \*p_{ij}^{n_{ij}}[/mm]
> So kann man für jede gewählte Kombination ij
> [mm]\in\{1,...,k\}\times\{1,...,k\}[/mm] den Term [mm]p_{ij}^{n_{ij}}[/mm]
> ausklammern. Damit jeder Term [mm]p_{ij}^{n_{ij}}[/mm] erfasst wird,
> muss man noch die Indexe i und j jeweils durchlaufen
> lassen:
> [mm]\produkt_{j=1}^k \produkt_{i=1}^k p_{ij}^{n_{ij}}[/mm]
Du meinst das richtige, aber warum schreibst du es nicht gleich so:
Für jedes $t [mm] \in \{2,...,n\}$ [/mm] gilt [mm] $x_t \in \{1,...,k\}$. [/mm] Daher
[mm] $\produkt_{t=2}^{n}p_{x_{t-1}x_t} [/mm] = [mm] \prod_{i,j=1}^{k}\prod_{t\in \{2,...,n\}: x_{t-1} = i, x_{t} = j}p_{x_{t-1}x_t} [/mm] = [mm] \prod_{i,j=1}^{k}\prod_{t\in \{2,...,n\}: x_{t-1} = i, x_{t} = j}p_{ij} [/mm] = [mm] \prod_{i,j=1}^{k}p_{ij}^{n_{ij}}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Mo 30.09.2013 | | Autor: | lukas10000 |
Stimmt, die Übergangswkten könnten gleich sein und ja die ersten Umformungen sollten für ein festes i und j erstmal nur sein. Hätte natürlich auch 11....kk (also alle Kombinationen) einzeln rausziehen können. Wäre aber eine Indize-schlacht geworden.
Merci für die Kontrolle :)
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