Mächtigkeit von Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mi 21.11.2018 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Fragen:
1,) Kann man zeigen, dass die Intervalle ]a,b[ und ]c,d[ gleich mächtig sind, in dem man eine Gerade durch die Punkte (a,c) und (b,d) legt und zeigt, dass es sich hierbei um eine bijektve Funktion handelt ?
2.) Kann man zeigen, dass [mm] \IR [/mm] und das Intervall ]-1,1[ gleich mächtig ist, in dem ich eine Tangensfunktion bestimme, die bei x =-1 und x = 1 senkrechte Asymptoten hat und daher eine bijektive Abbildung darstellt ?
3.) Sind die Mengen ]0,1[ und das karteische Produkt ]0,1[ X ]0,1[ gleichmächtig ?
Falls ja, wie kann man dies zeigen bzw. falls nein wieso nicht ?
vielen Dank für eure Rückmeldungen.
Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Do 22.11.2018 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo zusammen,
Hallo
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> ich habe folgende Fragen:
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> 1,) Kann man zeigen, dass die Intervalle ]a,b[ und ]c,d[
> gleich mächtig sind, in dem man eine Gerade durch die
> Punkte (a,c) und (b,d) legt und zeigt, dass es sich hierbei
> um eine bijektve Funktion handelt ?
Klingt gut :)
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> 2.) Kann man zeigen, dass [mm]\IR[/mm] und das Intervall ]-1,1[
> gleich mächtig ist, in dem ich eine Tangensfunktion
> bestimme, die bei x =-1 und x = 1 senkrechte Asymptoten hat
> und daher eine bijektive Abbildung darstellt ?
Klingt ebenso gut.
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> 3.) Sind die Mengen ]0,1[ und das karteische Produkt ]0,1[
> X ]0,1[ gleichmächtig ?
> Falls ja, wie kann man dies zeigen bzw. falls nein wieso
> nicht ?
Ich erinnere mich an eine Diskussion aus einer Matheuebung, dass [mm] $\IR$ [/mm] and [mm] $\IC$ [/mm] gleichmaechtig seien. Da [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IR^2$ [/mm] isomorph sind, muessen auch [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IR^2$ [/mm] gleichmaechtig sein (es ist auch nicht schwierig, eine Bijektion, von [mm] $\IC$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] zu finden). Das suggeriert zumindest, dass auch $(0,1)$ und $(0,1) [mm] \times [/mm] (0,1)$ gleichmaechtig sind. Leider kann ich gerade keine solche Funktion angeben.
>
> vielen Dank für eure Rückmeldungen.
>
> Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Gruss,
Chris
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> 3.) Sind die Mengen ]0,1[ und das karteische Produkt ]0,1[
> X ]0,1[ gleichmächtig ?
> Falls ja, wie kann man dies zeigen bzw. falls nein wieso
> nicht ?
Ja.
Jede Zahl x aus ]0|1[ lässt sich eindeutig als (ggf. unendlich lange) Dezimalzahl [mm] x=0,a_1a_2a_3.... (a_i [/mm] jeweils Ziffern) schreiben.
Damit lässt sich jedes Element [mm] (0,a_1a_2a_3...|0,b_1b_2b_3...) \in [/mm] ]0|1[ x ]0|1[ eindeutig abbilden auf [mm] 0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3... \in [/mm] ]0|1[ abbilden. Man mischt also die Ziffern abwechselnd in die neue Zahl ein. Die Umkehrabbildung dürfte damit auch klar sein.
So wird aus (0,2145368|0,3361992778) die Zahl 0,231346513969820707080 und umgekehrt aus 0,3456789910203040 das Tupel (0,35791234|0,4689).
Wenn man noch [mm] 1=0,\overline{9} [/mm] setzt, kann man sogar die Intervalle auf [0|1] ausdehnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Do 22.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> > 3.) Sind die Mengen ]0,1[ und das karteische Produkt ]0,1[
> > X ]0,1[ gleichmächtig ?
> > Falls ja, wie kann man dies zeigen bzw. falls nein wieso
> > nicht ?
>
> Ja.
>
> Jede Zahl x aus ]0|1[ lässt sich eindeutig als (ggf.
> unendlich lange) Dezimalzahl [mm]x=0,a_1a_2a_3.... (a_i[/mm] jeweils
> Ziffern) schreiben.
Das stimmt nicht: 0,099999999.... = 0,10000000.....
Dein Beweis ist zu retten, wenn man sich auf eine der beiden möglichen Dezimaldarstellungen einigt.
Bei der ersten Möglichkeit ist in [mm] $x=0,a_1a_2a_3.....$ [/mm] verboten, dass fast alle (also bis auf endlich viele) [mm] a_j=9 [/mm] sind
und bei der zweiten Möglichkeit ist in [mm] $x=0,a_1a_2a_3.....$ [/mm] verboten, dass fast alle (also bis auf endlich viele) [mm] a_j=0 [/mm] sind.
Bei der ersten Möglichkeit ist [mm] \bruch{1}{10}=0,100000..... [/mm] und beider zweiten haben wir [mm] \bruch{1}{10}=0,099999..... [/mm] .
> Damit lässt sich jedes Element
> [mm](0,a_1a_2a_3...|0,b_1b_2b_3...) \in[/mm] ]0|1[ x ]0|1[ eindeutig
> abbilden auf [mm]0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3... \in[/mm] ]0|1[ abbilden.
> Man mischt also die Ziffern abwechselnd in die neue Zahl
> ein. Die Umkehrabbildung dürfte damit auch klar sein.
>
> So wird aus (0,2145368|0,3361992778) die Zahl
> 0,231346513969820707080 und umgekehrt aus
> 0,3456789910203040 das Tupel (0,35791234|0,4689).
>
> Wenn man noch [mm]1=0,\overline{9}[/mm] setzt, kann man sogar die
> Intervalle auf [0|1] ausdehnen.
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Ja, danke, ich hatte übersehen, dass durch das Mixen die beiden verschiedenen Möglichkeiten (z.B. 0,1 = 0,09999999...) hinterher keine Eindeutigkeit mehr zulassen.
Gruß
HJKweseleit
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