Mächtigkeit von Potenzmengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien M und N zwei gleichmächtige (nicht notwendig endliche) Mengen, d.h. es gibt eine bijektive Abbildung f von M nach N. Zeigen Sie, dass auch [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] und [mm] \mathcal{P}(N) [/mm] gleichmächtig sind. |
Ich muss also zeigen dass eine Bijektive Abb. von [mm] \mathcal{P}(M), [/mm] also der Potenzmenge von M nach [mm] \mathcal{P}(N) [/mm] existiert.
Bei endlichen Mengen, denke ich kann ich mit der Anzahl argumentieren. Also seien M,N gleichmächtig, d.h. die Anzahl der jeweiligen Elemente ist gleich (sei sie gleich n). Dann folgt dass auch Die Anzahl der Elemente in [mm] \mathcal{P} [/mm] (N) und [mm] \mathcal{P} [/mm] (M) dieselbe ist, nämlich 2 hoch n.
Und da hatten wir einen Satz, dass dann eine Bijektion zwischen [mm] \mathcal{P}(N) [/mm] und [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] existiert.
Aber wie argumentiere ich bei unendlichen Mengen?
Wäre über Hilfe sehr dankbar!
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien M und N zwei gleichmächtige (nicht notwendig
> endliche) Mengen, d.h. es gibt eine bijektive Abbildung f
> von M nach N. Zeigen Sie, dass auch [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] und
> [mm]\mathcal{P}(N)[/mm] gleichmächtig sind.
> Ich muss also zeigen dass eine Bijektive Abb. von
> [mm]\mathcal{P}(M),[/mm] also der Potenzmenge von M nach
> [mm]\mathcal{P}(N)[/mm] existiert.
> Bei endlichen Mengen, denke ich kann ich mit der Anzahl
> argumentieren. Also seien M,N gleichmächtig, d.h. die
> Anzahl der jeweiligen Elemente ist gleich (sei sie gleich
> n). Dann folgt dass auch Die Anzahl der Elemente in
> [mm]\mathcal{P}[/mm] (N) und [mm]\mathcal{P}[/mm] (M) dieselbe ist, nämlich
> 2 hoch n.
> Und da hatten wir einen Satz, dass dann eine Bijektion
> zwischen [mm]\mathcal{P}(N)[/mm] und [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] existiert.
>
> Aber wie argumentiere ich bei unendlichen Mengen?
> Wäre über Hilfe sehr dankbar!
> Grüße
>
Es gibt eine Bijektion f:M [mm] \to [/mm] N
Definiere g:[mm]\mathcal{P}(M)[/mm] [mm] \to[/mm] [mm]\mathcal{P}(N)[/mm] wie folgt:
für X [mm] \in[/mm] [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] setze [mm] g(X)=\{f(x):x \in X\}
[/mm]
Zeige : g ist bijektiv.
FRED
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 So 27.11.2011 | | Autor: | MiguelVal |
vielen Dank
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| Aufgabe | | zeige g ist bijektiv |
Komme doch noch nicht richtig weiter.
Kann ich folgendermaßen vorgehen?
zeige zunächst, g ist injektiv:
seien X,X´ [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (M) mit g(X) = g(X´)
zu zeigen: X=X´
es gilt also g(X)= [mm] \{f(x): x \in X \} [/mm] = [mm] \{ f(x strich ) : x strich \in Xstrich \} [/mm] = g(X´)
sei f(x) [mm] \in [/mm] g(X) beliebig, dann folgt wegen Mengengleichheit f(x) [mm] \in [/mm] g(X´),
nun und jetzt denke ich muss die Injektivität von f irgendwie genutzt werden (ist vorhanden, da f nach Vor. bijektiv) um zu zeigen dass X=X´...
weis aber nicht wie?
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> zeige g ist bijektiv
> Komme doch noch nicht richtig weiter.
> Kann ich folgendermaßen vorgehen?
>
> zeige zunächst, g ist injektiv:
> seien X,X´ [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (M) mit g(X) = g(X´)
>
> zu zeigen: X=X´
> es gilt also g(X)= [mm]\{f(x): x \in X \}[/mm] = [mm]\{ f(x strich ) : x strich \in Xstrich \}[/mm]
> = g(X´)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
sei [mm] x\in [/mm] X.
Es ist
> Sei f(x) [mm]\in[/mm] g(X) beliebig, dann folgt wegen
> Mengengleichheit f(x) [mm]\in[/mm] g(X´),
also gibt es ein [mm] x'\in [/mm] X' mit f(x)=f(x').
Also ist x=x', also ist [mm] x\in [/mm] X'.
Damit haben wir schonmal [mm] X\subseteq [/mm] X'
Gruß v. Angela
> nun und jetzt denke ich muss die Injektivität von f
> irgendwie genutzt werden (ist vorhanden, da f nach Vor.
> bijektiv) um zu zeigen dass X=X´...
> weis aber nicht wie?
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