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| Aufgabe | Es sei p [mm] \in [/mm] (0,1), [mm] (Y_n)_{n \in \IN} [/mm] unabhängig identisch verteilt mit [mm] Y_1\sim [/mm] B(1,p) und [mm] X_n:=2Y_n+Y_{n+1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die [mm] X_n [/mm] eine Markovkette bilden. |
Hallo!
Ich habe dazu eine Lösung, die ich nicht ganz verstehe.
Vielleicht kann mir hier jemand dabei helfen? 
Lösung:
[mm] X_{n+1}=2*(X_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2} [/mm] für alle n. Für [mm] i_1,...,i_{n+1}\in [/mm] {0,1,2,3} ergibt sich wegen der Unabhängigkeit der [mm] Y_k, [/mm] dass
[mm] P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_j=i_j, [/mm] j [mm] \le [/mm] n)
= [mm] P(2*(X_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2}=i_{n+1}|X_j=i_j, [/mm] j [mm] \le [/mm] n)
= [mm] P(2*(i_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2}=i_{n+1}|X_j=i_j, [/mm] j [mm] \le [/mm] n)
= [mm] P(2*(i_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2}=i_{n+1})
[/mm]
= [mm] P(2*(X_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2}=i_{n+1}|X_n=i_n)
[/mm]
= [mm] P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n)
[/mm]
Also den Anfang glaube ich zu verstehen:
da [mm] Y_n [/mm] binomialverteilt ist, kann es nur 0 oder 1 sein, daher gibt es für [mm] X_n [/mm] 4 Möglichkeiten:
[mm] X_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } Y_n=0, Y_{n+1}=0 \\ 1, & \mbox{für } Y_n=0, Y_{n+1}=1 \\ 2, & \mbox{für } Y_n=1, Y_{n+1}=0 \\ 3, & \mbox{für } Y_n=1, Y_{n+1}=1 \end{cases}
[/mm]
[mm] Y_{n+1} [/mm] ist damit von [mm] X_n [/mm] abhängig, nämlich: [mm] Y_{n+1}=X_n [/mm] mod 2, das wird in [mm] X_{n+1} [/mm] eingesetzt in der 2. Zeile.
In der 3. Zeile wird [mm] X_n [/mm] durch [mm] i_n [/mm] ersetzt, da das die Bedingung in der bedingten Wahrscheinlichkeit ist.
In der 4. Zeile hakt es nun:
Warum können wir die Bedingung, dass [mm] X_j=i_j, [/mm] j [mm] \le [/mm] n einfach weglassen?
Müssten wir es nicht stehen lassen um zu wissen was [mm] i_n [/mm] ist?
Kann mir das jemand erklären?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 12.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mi 14.01.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo!
Die Frage ist leider immernoch aktuell!
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
Grüßle, Lily
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