Markowkette < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Sa 13.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
| Aufgabe | Ein zerstreuter Professor besitzt zwei Regenschirme. Jeden Morgen geht er in die Uni, und wenn es regnet, nimmt er einen Schirm mit- falls er gerade einen zu Hause hat. Abends geht er wieder nach Hause und nimmt, falls es regnet, und falls er gerade einen Schirm in der Uni hat, einen mit. Wenn es nicht regnet, nimmt er keinen Schirm mit. Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem Gang des Professors regnet, sei immer gleich p, mit 0<p<1. Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Professor bei einem Gang nass wird.
Beschreiben Sie das als Markowkette, wobei die Zustände die Zahl der Schirme am Standort des Professors sind. |
Hallo an alle,
ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe, es wäre super, wenn jemand mir helfen könnte.
Ich habe also 3 Zustände : 0, 1 und 2 (Anzahl der Regenschirme). Und ich weiß, dass es 2 Übergänge gibt, nämlich p( Wahrscheinlichkeit, dass es regnet) und q=1-p( Gegenwahrscheinlichkeit, dass es nicht regnet), aber ich weiß nicht, wie ich weiter rechnen soll, was muss ich als nächstes machen?Generell verstehe ich nicht, wie man eine MK aufstellt.
Ich würde mich über jede Antwort freuen : )
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 So 14.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ist er an einem Standort mit 2 Schrimen, so ist der nächste Zustand mit Wkeit p 1 Schirm und mit Wkeit (1-p) 0 Schirme.
- denn regnet es, nimmt er einen mit, ansonsten nicht -
ist der zustand null, so ist der nächste mit wkeit 1, 2 Schirme, denn es ist egal ob es regnet oder nicht, er kommt als nächstes an den standort wo beide schirme stehen.
ist er an einem standort mit einem schirm, so ist der nächste zustand mit wkeit (1-p) wieder 1 Schirm und mit wkeit p, 2 Schrime
dies ergibt folgende Übergangswkeiten, erster Zustand 0, zweiter 1, dritter 3:
[mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & (1-p) & p \\ (1-p) & p & 0}[/mm]
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 14.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
Hallo, ich danke dir für die Antwort.
Ich habe vertstanden, wie die Matrix und der Graph konstruiert werden, und die W., dass der Prof bei einem Gang nass wird, ist 1 oder ?
Ich habe noch eine Frage, wie würde dann das aussehen, wenn der Prof 3 Regenschirme besitzen würde: ist er an einem Standort mit 3 Schirmen, so ist der nächste Zustand mit W. p 1 Schirm und mit W. (1-p) 0 Schirme (genau so wie mit 2 Schirmen). Wenn der zustand 0 ist, so ist der nächste Zustand 3 Schirme mit W. 1.
Ist er an einem standort mit einem Schirm, so ist der nächste zustand 1 Schirm mit W. (1-p) und 3 Schirme mit W. p. Ich weiß aber nicht, mit welchem Zustand ich den Zustand 2 Schirme verbinden soll. Ich glaube, wenn der Prof am Standort mit 2 Schirmen ist, dann ist der nächste Zustand mit W. p wieder der Zustand 2 Schirme und mit der W. 1-p auch 2 Schirme. Ist das falsch?
Ich würde mich sehr über jede Korrektur freuen
Danke
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Der letzte Schritt passt nicht in dem Beispiel mit den 3 Schirmen:
Wenn er im Zustand "2 Schirme" ist, dann:
--> nimmt er mit W-keit p einen mit und hat somit am nächsten Standort 2 Schirme, also wieder Zustand "2 Schirme" (das hattest du auch).
--> nimmt er mit W-keit 1-p keinen mit, d.h. es bleiben 2 dort wo er ist und am anderen Ort ist ja dann nur 1 Schirm, also ist er dann im Zustand "1 Schirm".
Was die W-keit für das Nasswerden angeht, bin ich mir nicht sicher - aber p=1 scheint mir falsch zu sein.
Einfach ist es, sich zu überlegen, dass er mit W-keit p nass wird, wenn er sich im Zustand 0 befindet, ansonsten wird er nicht nass (weil er dann ja mind. einen Schirm zur Verfügung hat). Vielleicht hilft dir das ja bei deinen Überlegungen weiter - eigentlich musst du dann nur noch rausfinden, wie wahrscheinlich es ist, dass er sich in diesem Zustand befindet  .
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 14.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
Hallo weightgainer, vielen Dank für deine Korrektur,
aber es ist mir immer noch nicht klar, wie ich diese W. (W., dass der Prof bei einem Gang nass wird) ausrechnen kann, etwa mit bedingter Wahrscheinlichkeit ( "nass werden" und Zustand 0 Schirme als 2 unabhängige Ereignisse) ?
Danke im voraus : )
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Im Prinzip müsstest du wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass er sich jeweils in Zustand 0, 1 oder 2 befindet. Das macht man normalerweise so, dass man zusätzliche Informationen hat, wo er startet. Dann ist das der Startzustand(svektor).
Beispiel: Im Aufgabentext könnte noch stehen, dass er ursprünglich alle 2 Schirme zuhause hatte (was ja auch Sinn machen kann).
Dann wäre er also zu Beginn mit W-keit 1 im Zustand 2, je mit W-keit 0 im Zustand 0 und 1.
Wenn du jetzt die W-keit für den nächsten Zustand wissen willst, wendest du die Matrix auf diesen Vektor an. Für den nächsten Schritt dann die Matrix auf den neuen Zustandsvektor usw.
Im Prinzip läuft das darauf hinaus, dass du für den n-ten Zustandsvektor die Matrix hoch n nimmst und die mit dem ursprünglichen Zustandsvektor multiplizierst.
Ich habe das hier mal mit Beispielen gemacht (p=0,3 und p=0,7) und dann deine Matrix hoch 100 ausgerechnet. Da sieht man dann schon genau, was passieren wird. Wenn du allerdings die Matrix mit dem p drin hoch 100 nimmst (was ich auch gemacht habe), kommt ein nicht mehr durchschaubarer Trümmer raus. Vielleicht sieht man ein Muster, wenn man zunächst A*A und dann A*A*A rechnet, aber ich sehe keins.
Das wäre also der Standardweg - dann wüsstest du (bei einer Regenwahrscheinlichkeit von 0,3), dass er mit W-keit 24% in Zustand 0 ist und jeweils 38% in Zustand 1 oder 2 und dann wäre die W-keit, dass er nass wird, 0,24*0,3= 0,072.
Vielleicht geht es auch über bedingte W-keiten, das hab ich jetzt noch nicht durchdacht. Aber auch da brauchst du noch irgendeine Information - denn du musst an die W-keit dafür, dass er im Zustand 0 ist herankommen.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 15.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
Hallo weightgainer, vielen Dank für Deine Hilfe,
es tut mir leid, aber eine Sache verstehe ich nicht, wenn man eine Matrix mit einem Vektoren multipliziert, bekommt man doch wieder einen Vektor als Ergebnis, wieso hast Du in deinen Beispielen Wahrscheinlichkeit in Prozenten (24%)?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Di 16.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> Hallo weightgainer, vielen Dank für Deine Hilfe,
> es tut mir leid, aber eine Sache verstehe ich nicht, wenn
> man eine Matrix mit einem Vektoren multipliziert, bekommt
> man doch wieder einen Vektor als Ergebnis, wieso hast Du in
> deinen Beispielen Wahrscheinlichkeit in Prozenten (24%)?
>
> Danke im Voraus
>
ja matrix mal vektor gibt einen vektor. Und in diesem stehen dann die Wkeiten nach einem Schritt in dem 1. Zustand, 2. Zustand , 3. Zustand zu sein.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Do 18.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
Hallo vielen Dank für Deine Erklärung,
ich habe nach dem 1. Schritt den Zustandsvektor [mm] \vektor{1\\ 0\\(1-p)} [/mm] und nach dem 2.Schritt (Matrix hoch 2 mal ursprungl. Vektor) den Vektor [mm] \vektor{(1-p) \\ p-p^2\\0} [/mm] bekommen. Ist das richtig?
Vielen vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Do 18.06.2009 | | Autor: | vivo |
das kommt halt drauf an mit welchem startvektor du beginnst, in der aufgabe steht ja nicht, dass er zum beispiel am anfang beide daheim hat und außerdem steht ja auch nicht drinn nach wievielen schritten ...
es kann natürlich sein, dass eine konvergenz vorliegt ...
dies kannst du testen indem du schaust ob irgendeine potenz der matrix nur noch strikt positive einträge hat, ist dies der fall so konvergiert jede zeile der matrix gegen einen bestimmten vektor.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 18.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
Hallo, danke vielmals,
aber ich komme mit dieser Aufgabe trotzdem einfach nicht weiter : (
Meine [mm] A^2 [/mm] Matrix hat nur positive Einträge, nur ich weiß nicht, wie ich den Vektor, gegen die Zeilen konvergieren, bestimmen soll.
Beinhaltet dieser Vektor die Wahrscheinlichkeiten für alle 3 Zustände?
Ich hoffe, dass Du mir weiter helfen könntest
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Do 18.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
du musst prüfen ob eine potenz strikt positive einträge hat, die null ist nicht strikt positiv. Aber ich denke dass eine höhere potenz nur strikt positive einträge hat, obwohl ich dass jetzt noch nicht überprüft habe.
sollte dies so sein, so kannst du in einem beliebigen Vektor starten und wirst trotzdem nach vielen schritten einen bestimmten vektor mit den wahrscheinlichkeiten für die zustände haben. nämlich den der dann in jeder zeile der matrix steht.
finden kannst du diesen vektor indem du:
[mm] \pi [/mm] M = [mm] \pi
[/mm]
löst.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 So 21.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
Hallo vivo, danke vielmals für deine Hilfe
Gruß
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