Maßtheorie: maßdefinierende Funktion < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Mialein |
Sei G: [mm] \IR \to \IR [/mm] die durch
0... x < -1
G(x):= 1 + x... -1 [mm] \le [/mm] x < 0
2 + [mm] x^{2} [/mm] ... 0 [mm] \le [/mm] x < 2
9... x [mm] \ge [/mm] 2
erklärte Funktion. Man mache sich klar, dass G eine maßdefinierende Funktion ist. Mü sei das durch Mü((a,b])=G(b) - G(a) (a,b [mm] \in \IR; [/mm] a < b) der Funktion G eindeutig zugeordnete Lebesgue-Stieltjes-Maß.
a) Man berechne das Maß der folgenden Mengen: [mm] \{2\}, [/mm] [- [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] 3), (-1,0] [mm] \cup [/mm] (1,2).
b) Man berechne das Maß der Mengen [0, [mm] \bruch{1}{2}) \cup [/mm] (1,2], [mm] \{ x \in \IR : |x|+2x^{2} < 1\}.
[/mm]
c) Man zeige, dass die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] (1+x)I_{[-1,0]} [/mm] (x) Mü-integrierbar ist und berechne [mm] \integral_{\IR} [/mm] {f dMü}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Einfach nur die Aufgabenstellung hier hereinzustellen, ohne jeglichen Kommentar, ist wenig angemessen, man könnte es auch unhöflich nennen, und wird dazu führen, dass sich keiner mit deiner Frage beschäftigt.
Also:
1) Wo sind deine eigenen Lösungsansätze?
2) Wie lauten die genauen Definitionen (z.B. von maßdefinierender Funktion)?
3) Was verstehst du an der Aufgabe genau nicht, wo liegen deine Schwierigkeiten?
Anschließend geht es dann weiter...
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Schade, dass du dich nicht mehr meldest. Ich will trotzdem mal für alle Interessierten wenigstens mal sagen, wie man die Aufgabe lösen müsste:
Ich gehe mal davon aus, dass eine maßdefinierende Funktion eine Funktion $G: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] ist, die monoton wachsend und rechtsseitig stetig ist.
Dies ist für
$G(x) = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & x < -1,\\[5pt] 1+x & , & -1 \le x < 0 ,\\[5pt] 2+x^2 & , & 0 \le x < 2, \\[5pt] 9 & x \ge 2 \end{array} \right.$
[/mm]
offensichtlich der Fall.
Nun berechnet man für das zu $G$ gehörige Lebesgue-Stieltjes-Maß:
[mm] $\mu(\{2\}) [/mm] = G(2) - [mm] \lim\limits_{x \uparrow 2} [/mm] G(x) = 9 - [mm] (2+2^2) [/mm] = 3$,
[mm] $\mu([-\frac{1}{2},3)) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \uparrow 3} [/mm] G(x) - [mm] \lim\limits_{x \uparrow (- \frac{1}{2})} [/mm] G(x) = 9 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] = 8 [mm] \frac{1}{2}$,
[/mm]
[mm] $\mu((-1,0] \cup [/mm] (1,2)) = [mm] \mu((-1,0]) [/mm] + [mm] \mu((1,2)) [/mm] = G(0) - G(-1) + [mm] \lim\limits_{x \uparrow 2}G(x) [/mm] - G(1) = 2 - 0 + 6 - 3 = 5$,
usw.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Mialein |
Hallo Julius!
Erst mal danke für die Antwort!
Ich hatte während der letzten Woche keinen PC zur Verfügung, sonst hätte ich mich gemeldet.
Ja, wir haben maßdefinierend Funktion genauso definiert.
Ich habe jetzt genauso den b)-Teil gemacht:
[mm] $\mu [/mm] ([0, [mm] \bruch{1}{2})) \cup(1,2]) =$\mu(\{0\}) [/mm] + [mm] $\mu((0, \bruch{1}{2})) [/mm] + [mm] $\mu((1,2]) [/mm] = G(0)- [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}G(x)+\limes_{x\rightarrow\ \bruch{1}{2}}G(x) [/mm] - G(0) + G(2)- G(1) = 7,25
[mm] \mu(\{x \in \IR | |x| + 2\ x^{2} > 1 \}) [/mm] = [mm] $\mu [/mm] ((- [mm] \infty, -\bruch{1}{2})) [/mm] + [mm] $\mu ((\bruch{1}{2}, \infty)) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ -\bruch{1}{2}}G(x) [/mm] - [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}G(x) [/mm] + [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}G(x) [/mm] - [mm] limes_{x\rightarrow\ \bruch{1}{2}}G(x) [/mm] = 6,75
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Mia!
> Erst mal danke für die Antwort!
> Ich hatte während der letzten Woche keinen PC zur
> Verfügung, sonst hätte ich mich gemeldet.
Okay. Danke für die Erklärung. 
> Ja, wir haben maßdefinierend Funktion genauso definiert.
> Ich habe jetzt genauso den b)-Teil gemacht:
>
> [mm]\mu ([0, \bruch{1}{2})) \cup(1,2]) =[/mm][mm] \mu(\{0\})[/mm] + [mm]\mu((0, \bruch{1}{2})) +[/mm][mm] \mu((1,2])[/mm]
> = G(0)- [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}G(x)+\limes_{x\rightarrow\ \bruch{1}{2}}G(x)[/mm]
> - G(0) + G(2)- G(1) = 7,25
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\mu(\{x \in \IR | |x| + 2\ x^{2} > 1 \})[/mm] = [mm]\mu ((- \infty, -\bruch{1}{2})) +[/mm][mm] \mu ((\bruch{1}{2}, \infty))[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ -\bruch{1}{2}}G(x)[/mm] -
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}G(x)[/mm] +
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}G(x)[/mm] - [mm]limes_{x\rightarrow\ \bruch{1}{2}}G(x)[/mm]
> = 6,75
Hier habe ich auch $7,25 $ raus. Kannst du das noch einmal nachrechnen?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 So 04.07.2004 | | Autor: | Mialein |
Hallo Julius!
> > [mm]\mu(\{x \in \IR | |x| + 2\ x^{2} > 1 \})[/mm] = [mm]\mu ((- \infty, -\bruch{1}{2})) +[/mm][mm] \mu ((\bruch{1}{2}, \infty))[/mm]
>
> > = [mm]\limes_{x\rightarrow\ -\bruch{1}{2}}G(x)[/mm] -
> > [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}G(x)[/mm] +
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}G(x)[/mm] - [mm]limes_{x\rightarrow\ \bruch{1}{2}}G(x)[/mm]
>
> > = 6,75
>
> Hier habe ich auch [mm]7,25[/mm] raus. Kannst du das noch einmal
> nachrechnen?
Ich habe es nochmal gerechnet, ich komme auf genau dasselbe. Wo ist mein Fehler?
zum c-Teil habe ich mir folgendes überlegt:
Definition:
Eine Funktion f heißt [mm] \mu-integrierbar \gdw \integral_{\IR} [/mm] f [mm] d\mu [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Es ist doch offensichtlich, dass das Integral den Wert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hat, damit ist f doch [mm] \mu-integrierbar.
[/mm]
Ich weiß nur nicht, wie ich zeigen soll, dass der Wert des Integrals [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist, muss ich dazu wirklich einfache Funktionen konstruieren, die f als Grenzwert haben?
Wenn man die Funktion zeichnet sieht man sofort, dass dea Integral, der Flächeninhalt eines Dreiecks ist, und aus Analysis wissen wir, dass wenn sie existieren Riemann-Integral und Lebesgue-Integral den selben Wert annehmen. Oder mache ich es mir so zu leicht?
Gruß,
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:49 So 04.07.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Mia!
> > > [mm]\mu(\{x \in \IR | |x| + 2\ x^{2} > 1 \})[/mm] = [mm]\mu ((- \infty, -\bruch{1}{2})) +[/mm][mm] \mu ((\bruch{1}{2}, \infty))[/mm]
>
> >
> > > = [mm]\limes_{x\rightarrow\ -\bruch{1}{2}}G(x)[/mm] -
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}G(x)[/mm] +
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}G(x)[/mm] - [mm]\limes_{x\rightarrow\ \bruch{1}{2}}G(x)[/mm]
>
> >
> > > = 6,75
> >
> > Hier habe ich auch [mm]7,25[/mm] raus. Kannst du das noch einmal
>
> > nachrechnen?
>
> Ich habe es nochmal gerechnet, ich komme auf genau
> dasselbe. Wo ist mein Fehler?
Das kann ich dir nicht sagen, wenn du mir deine Rechnung nicht genauer angibt.
Für mich ist:
[mm]\limes_{x\uparrow\ -\bruch{1}{2}}G(x) = \frac{1}{2}[/mm],
[mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}G(x) = 0[/mm],
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}G(x) = 9[/mm],
[mm]G(\frac{1}{2}) = 2\frac{1}{4}[/mm],
also:
[mm]\limes_{x\uparrow\ -\bruch{1}{2}}G(x) - \limes_{x\rightarrow-\infty}G(x) + \limes_{x\rightarrow\infty}G(x) - G(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 0 + 9 - 2\frac{1}{4} = 9 - 1 \frac{3}{4} = 7 \frac{1}{4}[/mm],
oder etwa nicht?
Ich bitte um Rückmeldung.
> zum c-Teil habe ich mir folgendes überlegt:
>
> Definition:
> Eine Funktion f heißt [mm]\mu-integrierbar \gdw \integral_{\IR}[/mm]
> f [mm]d\mu[/mm] < [mm]\infty
[/mm]
>
> Es ist doch offensichtlich, dass das Integral den Wert
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] hat,
Nein, ich bekomme einen anderen Wert heraus.
> damit ist f doch [mm]\mu-integrierbar.
[/mm]
>
> Ich weiß nur nicht, wie ich zeigen soll, dass der Wert des
> Integrals [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist, muss ich dazu wirklich einfache
> Funktionen konstruieren, die f als Grenzwert haben?
> Wenn man die Funktion zeichnet sieht man sofort, dass dea
> Integral, der Flächeninhalt eines Dreiecks ist, und aus
> Analysis wissen wir, dass wenn sie existieren
> Riemann-Integral und Lebesgue-Integral den selben Wert
> annehmen. Oder mache ich es mir so zu leicht?
Schreibe mir mal bitte alle Definitionen und Sätze (ohne Beweise) zum Thema "Existenz und Berechnung des Lebesgue-Stieltjes-Integrals" hier ins Forum, dann kann ich dir anhand der Sätze und Definitionen sagen, was du zeigen musst und warum du dein Integral falsch berechnet hast.
Wenn du eine Reaktion wünschst, wäre es besser, deinen Artikel als "Frage" und nicht als "Mitteilung" zu deklarieren.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 04.07.2004 | | Autor: | Mialein |
Hallo!
> [mm]\limes_{x\uparrow\ -\bruch{1}{2}}G(x) - \limes_{x\rightarrow-\infty}G(x) + \limes_{x\rightarrow\infty}G(x) - G(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 0 + 9 - 2\frac{1}{4} = 9 - 1 \frac{3}{4} = 7 \frac{1}{4}[/mm],
>
> oder etwa nicht?
>
> Ich bitte um Rückmeldung.
Ok, ich war zu doof, die Funktin richtig auszuwerten, ich komme jetzt auch auf 7,25.
> Schreibe mir mal bitte alle Definitionen und Sätze (ohne
> Beweise) zum Thema "Existenz und Berechnung des
> Lebesgue-Stieltjes-Integrals" hier ins Forum, dann kann ich
> dir anhand der Sätze und Definitionen sagen, was du zeigen
> musst und warum du dein Integral falsch berechnet hast.
Definition:
Vollständiger Maßraum [mm] (\IR, [/mm] Abschluss von [mm] B_{\mu},\mu) [/mm] mit L-S-Maß [mm] \mu.
[/mm]
Maßdefinierende Funktion G. A [mm] \in [/mm] Abschluss von [mm] B_{\mu}, [/mm] f:(A, A [mm] \cap [/mm] Abschluss von [mm] B_{\mu}) \to [/mm] (Abschluß von [mm] \IR, [/mm] Abschluss von B).
[mm] \integral_{A} [/mm] f [mm] d\mu, [/mm] falls existent heißt Lebesgue-Stieltjes-Integral.
Auch Bezeichnung [mm] \integral_{A} [/mm] f(x) dG(x), [mm] \integral_{A} [/mm] f dG
Sonst haben wir nichts konkretes zum L-S-Integral, aber wir haben Maßintegral für ein allgemeines Maß definiert:
Maßraum [mm] \{\Omega, A, \mu\}, f:(\Omega,A)\to [/mm] (Abschluss von [mm] \IR, [/mm] Abschluss von B)
1. Schritt:
f nichtnegative einfache Funktion
[mm] \Rightarrow [/mm] Darstellung f = [mm] \summe_{i=1}^{N}\alpha_{i}I_{A_{i}} [/mm]
Integral [mm] \integral_{\Omega}f d\mu:= \summe_{i=1}^{N}\alpha_{i}\mu(A_{i})
[/mm]
2. Schritt:
f nichtnegative messbare Funktion
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] nichtnegative einfache Funktionen [mm] f_{n} \to [/mm] f
[mm] \Rightarrow \exists \integral_{\Omega}{f_{n}d\mu} \Rightarrow \exists \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\Omega}{f_{n}d\mu}
[/mm]
Integral: [mm] \integral_{\Omega}{f d\mu}:=\integral_{\Omega}{f_{n}d\mu}
[/mm]
Gruß, Jasmin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 04.07.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Jasmin!
Das Problem ist: Mit so wenig Aussagen kann ich jetzt meine Rechnung nicht wirklich gut belegen, du musst mir also vertrauen. 
Was du vergessen hast bei deiner Rechnung, ist die Tatsache, dass die Integratorfunktion an der Stelle $x=0$ noch einmal einen Sprung macht. Dieser Sprung muss berücksichtigt werden bei der Errechnung des Lebesgue-Stieltjes-Integrals.
Also, meiner Ansicht nach gilt:
[mm] $\int f(x)\, \mu(dx) [/mm] = [mm] \int_{-1}^0 (1+x)\, [/mm] dx + f(0) [mm] \cdot [/mm] (G(0) - [mm] \lim_{x \uparrow 0} [/mm] G(x)) = [mm] \left[ x + \frac{1}{2} x^2\right]_{-1}^0 [/mm] + 1 [mm] \cdot [/mm] (2-1) = 0 + 0 +1 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + 1 = 1 [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Das könnte man jetzt sicherlich auch nachweisen mit einer Approximation über elementare Funktionen, aber ich hoffe du verstehst, dass mir das jetzt zu viel Arbeit ist. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Der Witz ist einfach der: Im rechtshalboffenen Intervall $[-1,0[$ ist [mm] $\mu$ [/mm] gerade das ganz gewöhnliche Lebesgue-Maß, da darf man also "wie gewohnt" integrieren. Dann kommt aber noch der Punkt [mm] $\{0\}\$ [/mm] hinzu, der ja normalerweise kein positives Lebesgue-Maß hat und daher keinen Beitrag zum normalen Lebesgue-Integral leisten würde. Er hat aber hier das Lebesgue-Stieltjes-Maß [mm] $\mu(\{0\})= [/mm] 1$, und von daher muss das hier im Integral auch berücksichtigt werden. Man muss bei solchen Punkten mit positivem Lebesgue-Stieltjes-Maß immer das Produkt des Funktionswertes der Integrandenfunktion an dieser Stelle mit dem Wert des Lebesgue-Stieltjes-Maßes an dieser Stelle noch hinzuaddieren.
Liebe Grüße
Julius
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