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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 19.12.2012 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | a) Betrachten Sie die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
als erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems mit den unbekannten [mm] x_{i},...,x_{n} [/mm]
b)Welchen Wert hat n?
c)Wieso ist das System lösbar?
d)Wie viele der [mm] x_{i} [/mm] kann man frei wählen?
e) Geben Sie eine spezielle Lösung des Gleichungssystems aus a) an. |
Hallo,
schreibt man bei a) einfach:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -4 & b_{1} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 6 & b_{2}\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 & b_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{4} }
[/mm]
?
b) n=6
c) Das System ist lösbar, weil die letzte Zeile nur 0 aufweist.
Bei d) bin ich mir unsicher. Kann man alle [mm] x_{i} [/mm] frei wählen, deren Koeffizienten 0 sind, also 13?
e) Hierfür brauche ich einen Tipp, ich weiß nicht wie eine spezielle Lösung aussehen soll.
Danke im Voraus.
ninime
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Hallo ninime,
> a) Betrachten Sie die Matrix
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -4 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> als erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen
> Gleichungssystems mit den unbekannten [mm]x_{i},...,x_{n}[/mm]
>
> b)Welchen Wert hat n?
> c)Wieso ist das System lösbar?
> d)Wie viele der [mm]x_{i}[/mm] kann man frei wählen?
>
> e) Geben Sie eine spezielle Lösung des Gleichungssystems
> aus a) an.
> Hallo,
>
> schreibt man bei a) einfach:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -4 & b_{1} \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 6 & b_{2}\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 & b_{3} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{4} }[/mm]
>
> ?
Nein, das Lgs lautet [mm]A\cdot{}\vec x=\vec{b}[/mm] mit [mm]\vec b=\vektor{-4\\
6\\
-2\\
0}[/mm]
Die letzte Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix enthält den Vektor [mm]\vec b[/mm]
Was genau ist also die Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm] ?
>
> b) n=6
Nein, überdenke a) nochmal, dann kennst du sicher die richtige Antwort
> c) Das System ist lösbar, weil die letzte Zeile nur 0
> aufweist.
Das reicht als Begründung nicht. Wieso kann in den anderen Zeilen kein Widerspruch entstehen?
Eine andere Begrüngung spielt auf den Zusammenhang zwischen Rang von A (der Koeffizientenmatrix) und Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix an.
Wie war das noch?!
>
> Bei d) bin ich mir unsicher. Kann man alle [mm]x_{i}[/mm] frei
> wählen, deren Koeffizienten 0 sind, also 13?
Ohauerhau! Wie passt das denn zu deiner Antwort in b)
Du hast nach deiner (falschen) Meinung 6 Unbekannte und willst davon 13 frei wählen?! Das ist doch Kokolores!
Überdenke nochmal a) und b), dann wird dir das klar.
Beachte die besondere Gestalt der erweiterten Koeffizientenmatrix.
Mehr will ich hierzu nicht verraten, weil sonst a) und b) klar sind ...
Überlege du erst noch einmal.
>
> e) Hierfür brauche ich einen Tipp, ich weiß nicht wie
> eine spezielle Lösung aussehen soll.
Das kannst du wiederum mit d) lösen 
Wenn du weißt, wieviele und welche Parameter du frei wählen kannst, kannst du die entsprechend setzen und dann durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen der übrigen Variablen bestimmen...
>
> Danke im Voraus.
>
> ninime
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mi 19.12.2012 | | Autor: | ninime |
Okay gut, dass ich nachgefragt hab 
> Nein, das Lgs lautet [mm]A\cdot{}\vec x=\vec{b}[/mm] mit [mm]\vec b=\vektor{-4\\
6\\
-2\\
0}[/mm]
>
> Die letzte Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix
> enthält den Vektor [mm]\vec b[/mm]
>
> Was genau ist also die Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm] ?
>
Also schreib ich die erweiterte Koeffizientenmatrix wie die Matrix A, nur mit einem Srich vor der letzten Spalte. Dann wäre das LGS:
[mm] x_{1}-x_{4}-x_{5}=-4
[/mm]
[mm] x_{2}+x_{4}= [/mm] 6
[mm] x_{3}+x_{4}+2x_{5}=-2
[/mm]
und somit n=5
> > c) Das System ist lösbar, weil die letzte Zeile nur 0
> > aufweist.
>
> Das reicht als Begründung nicht. Wieso kann in den anderen
> Zeilen kein Widerspruch entstehen?
>
> Eine andere Begrüngung spielt auf den Zusammenhang
> zwischen Rang von A (der Koeffizientenmatrix) und Rang der
> erweiterten Koeffizientenmatrix an.
>
> Wie war das noch?!
Nie gehört. Wir haben nur die Begründung: Sei A in spezieller Zeilenstufenform, und sei (A, b) erweiterte
Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems.
Ist r der Zeilenindex der letzen Zeile von A, die von Null
verschiedene Eintrage enthält, so ist das Gleichungssystem ¨
genau dann unlösbar, wenn es ein ¨ i ∈ {r + 1, . . . m} gibt mit
[mm] b_{i} \not= [/mm] 0.
> Du hast nach deiner (falschen) Meinung 6 Unbekannte und
> willst davon 13 frei wählen?! Das ist doch Kokolores!
>
> Überdenke nochmal a) und b), dann wird dir das klar.
>
> Beachte die besondere Gestalt der erweiterten
> Koeffizientenmatrix.
>
> Mehr will ich hierzu nicht verraten, weil sonst a) und b)
> klar sind ...
>
> Überlege du erst noch einmal.
Dass 13 Unsinn ist leuchtet mir ein Da in allen Zeilen zusammen aber [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{5} [/mm] vorkommt, weiß ich nicht welche man frei wählen könnte. In der ersten Zeile wäre ja z.B. [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] frei wählbar, in der zweiten Zeile wäre aber [mm] x_{2} [/mm] wiederum nicht frei wählbar. Oder denke ich da in eine völlig falsche Richtung?
> > e) Hierfür brauche ich einen Tipp, ich weiß nicht wie
> > eine spezielle Lösung aussehen soll.
>
> Das kannst du wiederum mit d) lösen
>
> Wenn du weißt, wieviele und welche Parameter du frei
> wählen kannst, kannst du die entsprechend setzen und dann
> durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen der übrigen
> Variablen bestimmen...
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Hallo nochmal,
> Okay gut, dass ich nachgefragt hab
>
>
> > Nein, das Lgs lautet [mm]A\cdot{}\vec x=\vec{b}[/mm] mit [mm]\vec b=\vektor{-4\\
6\\
-2\\
0}[/mm]
>
> >
> > Die letzte Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix
> > enthält den Vektor [mm]\vec b[/mm]
> >
> > Was genau ist also die Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm] ?
> >
> Also schreib ich die erweiterte Koeffizientenmatrix wie die
> Matrix A, nur mit einem Srich vor der letzten Spalte. Dann
> wäre das LGS:
>
> [mm]x_{1}-x_{4}-x_{5}=-4[/mm]
> [mm]x_{2}+x_{4}=[/mm] 6
> [mm]x_{3}+x_{4}+2x_{5}=-2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, so ist das als System ausgeschrieben!
>
> und somit n=5
In Matrixschreibweise: [mm]\pmat{1&0&0&-1&-1\\
0&1&0&1&0\\
0&0&1&1&2\\
0&0&0&0&0}\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5}=\vektor{-4\\
6\\
-2\\
0}[/mm]
>
>
> > > c) Das System ist lösbar, weil die letzte Zeile nur 0
> > > aufweist.
> >
> > Das reicht als Begründung nicht. Wieso kann in den anderen
> > Zeilen kein Widerspruch entstehen?
> >
> > Eine andere Begrüngung spielt auf den Zusammenhang
> > zwischen Rang von A (der Koeffizientenmatrix) und Rang der
> > erweiterten Koeffizientenmatrix an.
> >
> > Wie war das noch?!
>
> Nie gehört.
Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix und der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich sind, ist das LGS lösbar ...
> Wir haben nur die Begründung: Sei A in
> spezieller Zeilenstufenform, und sei (A, b) erweiterte
> Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems.
> Ist r der Zeilenindex der letzen Zeile von A, die von
> Null
> verschiedene Eintrage enthält, so ist das
> Gleichungssystem ¨
> genau dann unlösbar, wenn es ein ¨ i ∈ {r + 1, . . .
> m} gibt mit
> [mm]b_{i} \not=[/mm] 0.
Bei deiner Begründung in der ersten Frage fehlte das mit der Zeilenstufenform!
Allein die letzte Nullzeile reicht nicht ...
>
>
> > Du hast nach deiner (falschen) Meinung 6 Unbekannte und
> > willst davon 13 frei wählen?! Das ist doch Kokolores!
> >
> > Überdenke nochmal a) und b), dann wird dir das klar.
> >
> > Beachte die besondere Gestalt der erweiterten
> > Koeffizientenmatrix.
> >
> > Mehr will ich hierzu nicht verraten, weil sonst a) und b)
> > klar sind ...
> >
> > Überlege du erst noch einmal.
>
> Dass 13 Unsinn ist leuchtet mir ein Da in allen Zeilen
> zusammen aber [mm]x_{1}[/mm] bis [mm]x_{5}[/mm] vorkommt, weiß ich nicht
> welche man frei wählen könnte. In der ersten Zeile wäre
> ja z.B. [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] frei wählbar, in der zweiten Zeile
> wäre aber [mm]x_{2}[/mm] wiederum nicht frei wählbar. Oder denke
> ich da in eine völlig falsche Richtung?
In der Matrix in ZSF stehen die führenden Elemente der Nichtnullzeilen in den Spalten 1,2 und 3
Wähle also [mm]x_4[/mm] und [mm]x_5[/mm] frei, etwa [mm]x_4=s, x_5=t[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Daraus kannst du die allg. Lösung durch Rückwärtseinsetzen bestimmen und eine ganz spezielle durch konkrete Wahl von [mm]s,t[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mi 19.12.2012 | | Autor: | ninime |
Super, vielen lieben Dank. Jetzt hab ich es verstanden.
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