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Hallo,
ich habe mal wieder eine Frage, bei der ich nicht weiterkomme: Wie kann ich [mm] A^n [/mm] von der Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 } [/mm]
berechnen??
Ich habe angefanken mit A*A, A*A*A usw., das bringt mich aber nicht weiter. Ich kann kein allgemeines Muster erkennen... ???
Danke schon mal im Voraus!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mo 25.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ist das n angegeben?
Meines Wissens gibt es da kein allgemeines Muster.
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 Di 26.06.2007 | | Autor: | clarakami |
Hallo,
das n war nicht vorgegeben, aber nach der Natwort von DaMenge ist ja alles klar!! Dankeschön trotzdem!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Di 26.06.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
angenommen du findest ein Basis B aus Eigenvektoren, so dass die darstellende Matrix bzgl B eine Diagonalmatrix D ist.
sei X die Transformationsmatrix (=Basiswechselmatrix) von der Basis B zu der Basis, bzgl der die Matrix A dargestellt ist, also ist dann : [mm] $A=X^{-1}*D*X$
[/mm]
dann ist : [mm] $A^2=X^{-1}*D*X*X^{-1}*D*X=X^{-1}*D^2*X$ [/mm]
und allgemein : [mm] $A^n=X^{-1}*D^n*X$
[/mm]
so, alles was zu tun ist : die Basis aus Eigenvektoren bestimmen und [mm] $D^n$ [/mm] berechnen ...
viel Spaß + viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:02 Di 26.06.2007 | | Autor: | clarakami |
Besten Dank, das hat mir sehr weitergeholfen!!
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Hi,
ich hätte da jetzt doch noch eine Frage: Die gegebene Matrix A hat die Eigenwerte 2, 2, 2. Dementsprechend lässt sich leider keine Basis aus Eigenvektoren finden, man erhält immer nur 2 linear unabhängige Basisvektoren.
Was kann ich jetzt machen?
Dankeschön!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
in diesem Fall kannst du deine Matrix in Jordan-Normalform bringen! Dann gehst du analog wie bei deiner Diagonalmarix vor, du kannst spielend leicht folgendes rechnen: (wie man die Jordan-Normalform bestimmt weist du?)
Sei B die Basis, in der A Jordan-Normalform (C) hat:
[mm] A^n = B^{-1} * C^n *B [/mm]
Nun musst du also nurnoch [mm] C^n [/mm] ausrechnen. Das sollte dir allerdings gelingen, da kann man dann wunderbar ein Muster erkennen :D
mfG Zaed
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 27.06.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also ich hab als Eigenwerte : 2 , 4 , 4 und auch wirklich 3 lin.unabhaengige Eigenvektoren
(habs aber im Kopf berechnet - mit ein wenig Uebung geht das aber)
also die Matrix ist wirklich diagonalisierbar...
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Zaed |
da hast du dich vlt im Kopf verrechnet :D
es kommt wirklich nur ein Eigenwert 2 mit algebraischer Vielfachheit 3 raus. Dabei gilt leider, dass die geometrische Vielfachheit nicht 3 ist. Damit ist diese Matrix nicht diagonalisierbar....
Als charakteristisches Polynom habe ich [mm] -(t-2)^3 [/mm] und als Minimalpolynom [mm] (t-2)^2 [/mm], was auch wieder belegen würde, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist... Allerdings lässt sich an dem Minimalpolynom jetzt wunderbar die Jordan-Normalform ablesen :D
mfG Zaed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mi 27.06.2007 | | Autor: | DaMenge |
argh - ihr habt recht^^
das eine mal hab ich zu spaet abends und das andere mal zu frueh morgens gerechnet....
man moege meine antwort hier oben ignorieren !!
vielen Dank !
DaMenge
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Hi,
ist ja alles halb so wild!! Aber wenn bei deiner Lösung B die Matrix aus den Eigenvektoren ist - (nur für den Fall dass wir mal eine diagonalisierbare Matrix A haben) - wo kriege ich die Matrix X her???
LG
clarakami
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 27.06.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
okok - diesen hypothetischen Fall koennen wir dann natuerlich auch noch schnell besprechen^^
Also wenn die Matrix A bzgl einer kanonischen Basis K gegeben sei, dann ist oben X die  Transformationsmatrix (<- click mich), die einen Vektor der bzgl B gegeben ist, gleich laesst aber bzgl K darstellt - also [mm] $X=T^B_K$ [/mm] um mal die Schreibweise des Artikels zu benutzen.
X erhaelt man aber ganz leicht, wenn man die (hypothetischen) linear unabhaengigen Eigenvektoren (die man ja bzgl K berechnet) als SPALTEN in eine Matrix schreibt...
die Inverse laesst sich dann auch noch einfach berechnen..
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mi 27.06.2007 | | Autor: | clarakami |
Tausend Dank, jetzt ist alles einleuchtend!!  ))))
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