Matrix einer Transformation < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Sa 11.02.2006 | | Autor: | sara_20 |
| Aufgabe | Lineare Transformation A des Vektorenraumes [mm] R^3 [/mm] bildet die Vektoren a1=(1,2,3),a2=(1,1,1), a3=(1,3,6) auf folgender Weise ab:
A(a1)=(8,1,6), A(a2)=(4,0,3), A(a3)=(13,3,10).
a) Finde die Matrix zu der Transformation A in der Kakonenbasis {e1,e2,e3} des Raumes [mm] R^3
[/mm]
b) Finde rang, dimesion und Basis von Im(A) und Ker(A)
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Ist es so:
e1=a1;
A(e1)=A(a1)=8*a1+1*a2+6*a3 usw.???
Und dann b). Ich kann nicht den Rang finden, denn ich bekomme irgendwie «komische» Zahlen in der Matrix.
Bitte helft mir weiter. Ich habe diese Fragen in keinen anderen Foren gestellt.
Danke im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Sa 11.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Ist es so:
> e1=a1;
> A(e1)=A(a1)=8*a1+1*a2+6*a3 usw.???
nein, gesucht ist die Matrix : [mm] $A=\pmat{a_1&a_2&a_3\\a_4&a_5&a_6\\a_7&a_8&a_9}$
[/mm]
so dass
[mm] $\pmat{a_1&a_2&a_3\\a_4&a_5&a_6\\a_7&a_8&a_9}*\vektor{1\\2\\3}=\vektor{8\\1\\6}$ [/mm] (analog mit den beiden anderen Vektoren)
das liefert insgesamt 9 Gleichungen (für jeden Vektor die drei Zeilen..)
oben die erste Zeile ergibt also zum Beispiel:
[mm] $1*a_1+2*a_2+3*a_3=8$
[/mm]
die zweite Zeile oben wäre
[mm] $1*a_4+2*a_5+3*a_6=1$
[/mm]
(analog die anderen)
dann hast du ein Gleichungssystem mit 9 Variablen und 9 Gleichungen
Das ist dann hoffentlich auch schön mit Gauß lösbar...
versuchst du es mal ?
Mach dann einfach mal die Probe, indem du die obigen drei Vektormultiplikationen ausführst und schaust, ob das Richtige heraus kommt.
> Und dann b). Ich kann nicht den Rang finden, denn ich
> bekomme irgendwie «komische» Zahlen in der Matrix.
Ja der rang der Matrix muss man halt dannach sehen
(Zeilenstufenform und gut ist)
Ich denke den Rest sehen wir dan, wenn du soweit bist, oder?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:03 So 12.02.2006 | | Autor: | sara_20 |
Also, habe folgende Matrix bekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 &1 \\ 0 & -1 & 1\\1& 1& 1 }
[/mm]
Nun ist dim(Im)=2. Das andere weiss ich wie man es macht.
Danke, aber eine Frage:
Wo ist der Beweiss dass diese Matrix der Abbildung A in der Basis {e1,e2,e3} ekvivalent ist der anderen Matrix???
Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden? In welcher Basis sind die Vektoren a1,a2,a3 gegeben?
Ich danke fuer die schnelle Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 12.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine Matrix sieht richtig aus, ich denke aber, dies hast du schon durch die Probe herausgefunden, oder?
> Wo ist der Beweiss dass diese Matrix der Abbildung A in der
> Basis {e1,e2,e3} ekvivalent ist der anderen Matrix???
>
> Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden? In welcher
> Basis sind die Vektoren a1,a2,a3 gegeben?
Ja, also wenn nicht da steht, in welcher Basen a1 und die Bilder gegeben sind, geht man normaler Weise immer davon aus, dass sie bzgl Standardbasis gegeben sind.
Dass dann deine Matrix genau das tut, was sie soll ist klar, denn für jeden Vektor [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_3 [/mm] in Standardbasis gibt sie das entsprechende Bild in Standardbasis heraus.
Und weil [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_3 [/mm] eine Basis darstellt ist die Abbildung damit schon eindeutig bestimmt und die Matrix bzgl Standardbasis würde genau das tun, was deine matrix macht !
viele Grüße
DaMenge
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