Matrix einer lin. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{2} [/mm] durch
[mm] f(x_1,x_2,x_3)= (2x_1-x_3, x_1+x_2-2x_3)
[/mm]
Bestimmen Sie die zu f gehörige Matrix bezüglich der Basen
{(5,2,-7), (3,2,0), (1,-1,3)} und {(1,2), (2,1)} |
Hallo,
ich verstehe bei der Aufgabe nicht, warum man als Basisvektor {(1,2), (2,1)} hat, wenn doch f von [mm] \IR^{3} [/mm] nach [mm] \IR^{2} [/mm] geht. Man muss doch einen Vektor mit der Form x,y,z haben, was soll {(1,2), (2,1)} bedeuten?
Und zur Aufgabe allgemein: Einfach die Basisvektoren in die Abbildung, also in f, einsetzen, damit man die Matrix findet.
Stimmt das?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Mi 11.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
die ersten 3 Vektoren sind eine Basis des [mm] RR^3 [/mm] fir letzten beiden des [mm] RR^2
[/mm]
die matrix die gesucht wird muss für beide Basen stimmen.
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{2}[/mm]
> durch
>
> [mm]f(x_1,x_2,x_3)= (2x_1-x_3, x_1+x_2-2x_3)[/mm]
>
> Bestimmen Sie die zu f gehörige Matrix bezüglich der
> Basen
>
> {(5,2,-7), (3,2,0), (1,-1,3)} und {(1,2), (2,1)}
>
>
> Hallo,
>
> ich verstehe bei der Aufgabe nicht, warum man als
> Basisvektor {(1,2), (2,1)} hat, wenn doch f von [mm]\IR^{3}[/mm]
> nach [mm]\IR^{2}[/mm] geht. Man muss doch einen Vektor mit der Form
> x,y,z haben, was soll {(1,2), (2,1)} bedeuten?
Das hat leduart Dir schon gesagt.
>
> Und zur Aufgabe allgemein: Einfach die Basisvektoren in die
> Abbildung, also in f, einsetzen, damit man die Matrix
> findet.
> Stimmt das?
Na ja, ich glaube Du hast noch nicht verstanden wie man sich eine solche Abbildungsmatrix zusammenbastelt. Machen wirs allgemein:
Sei $f: [mm] \IR^n \to \IR^m$ [/mm] linear, [mm] B=\{b_1,...,b_n\} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] und [mm] C=\{c_1,...,c_m\} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^m.
[/mm]
Sei j [mm] \in \{1,...,n\}. [/mm] Dann lässt sich [mm] f(b_j) [/mm] in eindeutiger Weise als Linearkombination der Vektoren [mm] c_1,...,c_m [/mm] darstellen:
[mm] f(b_j)=a_{1j}c_1+a_{2j}c_2+...+a_{mj}c_m.
[/mm]
Dann ist [mm] (a_{1j},a_{2j},...,a_{mj})^T [/mm] die j_te Spalte der Abbildungsmatrix von f bezügl. B und C
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Hallo noch mal,
ich bin gerade bei dieser Aufgabe und habe mir folgenden Fahrplan ausgedacht. Hier noch mal die Aufgabe
" Gegeben sei die lineare Abbildung f: $ [mm] \IR^{3} [/mm] $ -> $ [mm] \IR^{2} [/mm] $ durch
$ [mm] f(x_1,x_2,x_3)= (2x_1-x_3, x_1+x_2-2x_3) [/mm] $
Bestimmen Sie die zu f gehörige Matrix bezüglich der Basen
{(5,2,-7), (3,2,0), (1,-1,3)} und {(1,2), (2,1)} "
Also, ich habe mir gedacht, dass ich jetzt erstmal die Vektoren {(5,2,-7), (3,2,0), (1,-1,3)} nacheinander in f einsetze. Dann kommen dort 3 Matrizen in [mm] \IR^{2} [/mm] raus. Diese 3 Vektoren stelle ich mithilfe der Basen {(1,2), (2,1)} dar(Linearkombination).
Guter Weg oder Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 18.05.2016 | | Autor: | Stala |
Guter Weg.
Du erhältst natürlich 3 Vektoren in [mm] \IR^2
[/mm]
Die Skalare, die du für die Linearkombinationen nutzt, sind dann, wie von FRED erklärt, die Einträge deiner Abbildungsmatrix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 18.05.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für die Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Do 19.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo noch mal,
>
> ich bin gerade bei dieser Aufgabe und habe mir folgenden
> Fahrplan ausgedacht. Hier noch mal die Aufgabe
> " Gegeben sei die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{2}[/mm]
> durch
>
> [mm]f(x_1,x_2,x_3)= (2x_1-x_3, x_1+x_2-2x_3)[/mm]
>
> Bestimmen Sie die zu f gehörige Matrix bezüglich der
> Basen
>
> {(5,2,-7), (3,2,0), (1,-1,3)} und {(1,2), (2,1)} "
>
>
> Also, ich habe mir gedacht, dass ich jetzt erstmal die
> Vektoren {(5,2,-7), (3,2,0), (1,-1,3)} nacheinander in f
> einsetze. Dann kommen dort 3 Matrizen in [mm]\IR^{2}[/mm] raus.
> Diese 3 Vektoren stelle ich mithilfe der Basen {(1,2),
> (2,1)} dar(Linearkombination).
>
> Guter Weg oder Holzweg?
Komische Frage ! Das ist doch genau der Weg, den ich Dir oben geschildert habe.
FRED
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