Matrix invertieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Also zuerst muss man das Gleichungssystem durch Gauß ja auf eine Zeilenform bringen, um zu schauen, ob es invertierbar ist.
[mm] \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & -8 & 0 & 1 & 0\\ 4 & -3 & 2 & 0 & 0 & 1} [/mm]
Nun habe ich in der 3.Zeile die 1. Zeile subtrahiert:
[mm] \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & -8 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -5 & -4 & -1 & 0 & 1} [/mm]
Nun habe ich die 1. Zeile mit 3 multipliziert und die 2. mit 4:
[mm] \pmat{ 12 & 6 & 18 & 3 & 0 & 0 \\ -12 & 24 & -32 & 0 & 4 & 0\\ 0 & -5 & -4 & -1 & 0 & 1} [/mm]
1. und 2. Zeile addiert:
[mm] \pmat{ 12 & 6 & 18 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & -14 & 3 & 4 & 0\\ 0 & -5 & -4 & -1 & 0 & 1} [/mm]
3. Zeile mal 6 genommen und mit der zweiten addiert:
[mm] \pmat{ 12 & 6 & 18 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & -14 & 3 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -38 & -3 & 4 & 6} [/mm]
Ist das bis hierin richtig? Dann wäre ja die Matrix invertierbar. Bei einfachen Matrizen hab ich die Einheitsmatrix dann auch auf die linke Seite gekriegt, aber hier wirkt das irgendwie problematisch.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mi 17.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Also zuerst muss man das Gleichungssystem durch Gauß ja
> auf eine Zeilenform bringen, um zu schauen, ob es
> invertierbar ist.
>
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & -8 & 0 & 1 & 0\\ 4 & -3 & 2 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Nun habe ich in der 3.Zeile die 1. Zeile subtrahiert:
>
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & -8 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -5 & -4 & -1 & 0 & 1}[/mm]
>
> Nun habe ich die 1. Zeile mit 3 multipliziert und die 2.
> mit 4:
>
> [mm]\pmat{ 12 & 6 & 18 & 3 & 0 & 0 \\ -12 & 24 & -32 & 0 & 4 & 0\\ 0 & -5 & -4 & -1 & 0 & 1}[/mm]
>
> 1. und 2. Zeile addiert:
>
> [mm]\pmat{ 12 & 6 & 18 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & -14 & 3 & 4 & 0\\ 0 & -5 & -4 & -1 & 0 & 1}[/mm]
>
> 3. Zeile mal 6 genommen und mit der zweiten addiert:
>
> [mm]\pmat{ 12 & 6 & 18 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & -14 & 3 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -38 & -3 & 4 & 6}[/mm]
>
> Ist das bis hierin richtig? Dann wäre ja die Matrix
> invertierbar. Bei einfachen Matrizen hab ich die
> Einheitsmatrix dann auch auf die linke Seite gekriegt, aber
> hier wirkt das irgendwie problematisch.
Bis hierhin passt alles.
[mm] \pmat{ \green{12} & \red{6} & \red{18} & 3 & 0 & 0 \\ 0 & \green{30} & \red{-14} & 3 & 4 & 0\\ 0 & 0 & \green{-38} & -3 & 4 & 6}
[/mm]
An den Roten Stellen muss jetzt nur noch eine 0 stehen, an den grünen Stellen noch eine 1, dann kannst du [mm] B^{-1} [/mm] ablesen.
Also:
[mm] \pmat{ 12 & 6 & 18 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & -14 & 3 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -38 & -3 & 4 & 6}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 30*38 & -14*38 & 3*38 & 4*38 & 0\\ 0 & 0 & -38*14 & -3*14 & 4*14 & 6*14}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1140 & -532 & 114 & 152 & 0\\ 0 & 0 & -532 & -42 & 56 & 84}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1140 & -532 & 114 & 152 & 0\\ 0 & 0 & -532 & -42 & 56 & 84}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1140 & 0 & 156 & 96 & -84\\ 0 & 0 & -532 & -42 & 56 & 84}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 285 & 0 & 39 & 24 & -21\\ 0 & 0 & -38 & -3 & 4 & 6}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 95 & 0 & 13 & 8 & -7\\ 0 & 0 & -38 & -3 & 4 & 6}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4*95 & 2*95 & 6*95 & 1*95 & 0 & 0 \\ 0 & 95*2 & 0 & 13*2 & 8*2 & -7*2\\ 0 & 0 & -38 & -3 & 4 & 6}
[/mm]
[mm] \gdw \vdots
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Mi 17.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Thomas,
kennst Du noch ein anderes Verfahren zur Invertierung von Matrizen?
Wenn ja, kommst Du damit vielleicht schneller ans Ziel, obwohl Du mit der Antwort von Marius ja schon fast fertig bist.
Die Determinante der ursprünglichen Matrix sieht ja erstmal unübersichtlich aus, berechnet sich dann aber doch nur zu 2.
LG,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Danke, das hat mir sehr weitergeholfen.
Determinanten hatten wir erst angeschnitten, deswegen konnte ich das nur mit Gauß machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Ich hatte noch einmal eine Frage dazu. In der letzten Zeile müsste man ja nun durch -38 teilen, um die 1 hinzukriegen, aber dann kann die Zeile dort einfach nicht hinhauen mit dem Ergebnis, was da rauskommen sollte. Was ist da noch falsch?
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Hallo Thomas,
schlechte Nachrichten.
Du hast von Anfang an einen Abschreibe- bzw. Übertragungsfehler genau in der Mitte der Matrix:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Also zuerst muss man das Gleichungssystem durch Gauß ja auf eine Zeilenform
> bringen, um zu schauen, ob es invertierbar ist.
> [mm] \pmat{ 4 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & \red{6} & -8 & 0 & 1 & 0\\ 4 & -3 & 2 & 0 & 0 & 1} [/mm]
Das hat leider Folgen auf die gesamte weitere Rechnung.
Sorry.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Tut mir leid, hatte ein Minus vergessen beim Abschreiben der Matrix. Hat sich erledigt.
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