Matrixangabe bzgl. Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Olek |
| Aufgabe | Es sei V:=M(2x3, [mm] \IR) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der 2x3-Matrizen, W:=M(2x2, [mm] \IR) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der 2x2-Matrizen und [mm] F:V\toW [/mm] die folgende [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung:
[mm] F:V\toW, M\mapstoM*A, [/mm] wobei [mm] A=\pmat{ 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 } \in [/mm] M(3x2, [mm] \IR).
[/mm]
Weiter seien die Basen
B:= [mm] (\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }) [/mm] von V und
C:= [mm] (\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 0 }, \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} & 0 }) [/mm] von W gewählt.
Berechnen sie die Abbildungsmatrix [mm] M^{B}_{C}(F) [/mm] von F bezüglich dieser beiden Basen. |
Ich habe keinen Dunst wie ich hier ran gehen muß. Basiswechsel einer Abbildung hab ich eigentlich schon mal gemacht, aber diese Aufgabe sieht irgendwie ganz anders aus als die die ich bisher gemacht hab. Ausserdem verwirrt mich das [mm] M\mapstoM*A. [/mm] Was soll das M*A?
Würde mich freuen wenn mir jemand sagen könnte wie ich vorgehen muß, das rechen schaff ich dann alleine ;)
MfG,
Olek
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Mork_ |
Als erstes mutiplizierst du [mm] A=\pmat{ 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 } [/mm] mit dem ersten Element aus deiner Basis B , das ist wohl das A*M
[mm] A*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }= \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] analog für die anderen Basiselmente
Diese Matrizen stellst du mit den Basis Elementen aus C dar
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }= \lambda_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+\lambda_{2} \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }+\lambda_{3} \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 0 }+\lambda_{4} \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} & 0 }
[/mm]
Die [mm] \lambda_{i} [/mm] sieht man sofort oder berechnet man über LGS
Hoffe das ist so richtig
Melle
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Olek |
Schönen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Wie sieht denn dann die End-Matrix aus? Ich habe gehört, es käme eine 2x3 Matrix heraus. Wie komme ich denn auf diese? Und was fange ich mit den Lambdas an, wenn ich sie errechnet habe?
Ausserdem stelle ich gerade fest, dass ich 3*3 Matrizen erhalte, wenn ich A mit den Basis-Matrizen multipliziere. Dann hab ich aber Probleme so weiter zu machen wie du es getan hast ...
MfG,
Olek
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
Des Rätsels Lösung besteht darin, dass man hier $M [mm] \cdot [/mm] A$ und nicht $A [mm] \cdot [/mm] M$ rechnen muss. Dann kommen auch $(2 [mm] \times [/mm] 2)$-Matrizen raus...
Ansonsten so vorgehen wie beschrieben:
Die Basis abbilden und die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren bezüglich der Basis im Bildbereich in die Abbildungsmatirx schreiben...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Einalem |
Ich versteh' das auch nicht. Wir hatten das ja mal welche Zeilen mit welchen Spalten etc. aber ich krieg' das nicht mehr hin. Kann mir vielleicht noch mal jemand was man womit multiplizieren muss?
Verzweifelte Grüße,
Einalem
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Olek |
Hi,
für die Multiplikation von A*B=C musst du um den Eintrag links oben zu erhalten die erste Zeile von A mit der ersten Spalte von B multiplizieren. Für den Eintrag rechts daneben nimmst du wieder die erste Zeile, aber dann die zweite Spalte.
Den Eintrag unter dem erste berechnest du dur die zweite Zeile mal die erste Spalte.
Und so weiter - den letzten Eintrag erhältst du dann durch die letzte Zeile mal die letzte Spalte.
Jetzt muß mir nur noch wer sagen was ich bei dieser Aufgabe mit was multiplizieren muß ;)
MfG,
Olek
|
|
|
|
