Matrixbildung aus 2 Vektoren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $ Seien [mm] a=(a_{1},...,a_{m})^{t} \varepsilon K^{m}$, b=(b_{1},...,b_{n})^{t}) \varepsilon K^{n} [/mm] zwei Spaltenvektoren mit a [mm] \not= [/mm] 0 und b [mm] \not= [/mm] 0
(i) Geben Sie die Einträge [mm] c_{ij} [/mm] der Matrix [mm] C:=a*b^{t} [/mm] an.
(ii) Geben Sie eine Basis für den Zeilenraum von C an, und bestimmen Sie den Rang von C.
(iii) Beweise Sie die folgende Aussage:
x [mm] \varepsilon [/mm] Ker(C) [mm] \gdw b^{t}*x=0 [/mm] $ |
$ Guten Abend liebes Matheforum,
für das Lösen der obigen Aufgabe bräuchte ich eure Hilfe.
Bei (i) bin ich mir überhaupt nicht sicher, wie die Matrix aussehen soll. Ich weiß, dass [mm] C:=a*b^{t} [/mm] sein soll. a ist der Spaltenvektor: [mm] \vektor{a_{1} \\ a_{m} } [/mm] und b ein Zeilenvektor (weil er ja zweimal transponiert wird): [mm] (b_{1},...,b_{n})^{t}). [/mm] Dann käme nach Multiplikation heraus:
[mm] \vektor{a_{1}*b_{1}\\ a_{m}*b_{n} }. [/mm] Nur das kann ja die Matrix nicht sein, oder? Es müsste doch irgendwie eine mxn Matrix rauskommen, weil ich einen mx1 und einen 1xn Vektor habe. Also, kann mir einer sagen, wie ich hier vorgehen muss?
Wenn ich dann (i) raus habe, werde ich wohl (ii) lösen können.
Bei (iii) bin ich dann aber wieder ratlos. Klar ist, es sind zwei Richtungen zu zeigen.
Hinrichtung: Sei x [mm] \varepsilon [/mm] Ker (C) [mm] \Rightarrow [/mm] C*x= 0 und weiter? Bin ich dann im nächsten Schritt schon am Ziel?
Rückrichtung: Sei [mm] b^{t}*x=0 \varepsilon [/mm] ??
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ich mir zu (i) die richtige Matrix nennen könntet und mir zu (iii) einen Denkanstoß geben könntet!
Mit freundlichen Grüßen
rubstudent88 $
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> [mm]Seien a=(a_{1},...,a_{m})^{t} \varepsilon K^{m}[/mm],
> [mm]b=(b_{1},...,b_{n})^{t}) \varepsilon K^{n}[/mm] zwei
> Spaltenvektoren mit a [mm]\not=[/mm] 0 und b [mm]\not=[/mm] 0
> (i) Geben Sie die Einträge [mm]c_{ij}[/mm] der Matrix [mm]C:=a*b^{t}[/mm]
> an.
> (ii) Geben Sie eine Basis für den Zeilenraum von C an, und
> bestimmen Sie den Rang von C.
> (iii) Beweise Sie die folgende Aussage:
> x [mm]\varepsilon[/mm] Ker(C) [mm]\gdw b^{t}*x=0[/mm] $
> $ Guten Abend liebes Matheforum,
>
> für das Lösen der obigen Aufgabe bräuchte ich eure Hilfe.
>
> Bei (i) bin ich mir überhaupt nicht sicher, wie die Matrix
> aussehen soll. Ich weiß, dass [mm]C:=a*b^{t}[/mm] sein soll. a ist
> der Spaltenvektor: [mm]\vektor{a_{1} \\ a_{m} }[/mm] und b ein
> Zeilenvektor (weil er ja zweimal transponiert wird):
> [mm](b_{1},...,b_{n})^{t}).[/mm] Dann käme nach Multiplikation
> heraus:
> [mm]\vektor{a_{1}*b_{1}\\ a_{m}*b_{n} }.[/mm] Nur das kann ja die
> Matrix nicht sein, oder? Es müsste doch irgendwie eine mxn
> Matrix rauskommen, weil ich einen mx1 und einen 1xn Vektor
> habe. Also, kann mir einer sagen, wie ich hier vorgehen
> muss?
Hallo,
wie multipliziert man Matrizen? Zeile mal Spalte.
Wir probieren das jetzt einfach mal mit zwei Vektoren aus:
[mm] \vec{a}:=\vektor{1\\2\\3}, \vec{b}:=\vektor{4\\5\\6\\7\\8}.
[/mm]
Jetzt geht's los:
[mm] \vec{a}*\vec{b}^{t}=\vektor{1\\2\\3}*\pmat{4&5&6&7&8}= [/mm] ---
kurz innehalten und nachdenken: die 3 Zeilen von [mm] \vec{a} [/mm] haben die Länge 1, ebenso die 5 Spalten von [mm] \vec{b}.
[/mm]
[mm] ...=\pmat{1*4&1*5& ...&...&...\\2*4&2*5& ...&...&...\\3*4&...& ...&...&...}
[/mm]
Mach jetzt erstmal so weit, wie Du kommst, danach sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
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> Wenn ich dann (i) raus habe, werde ich wohl (ii) lösen
> können.
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> Bei (iii) bin ich dann aber wieder ratlos. Klar ist, es
> sind zwei Richtungen zu zeigen.
>
> Hinrichtung: Sei x [mm]\varepsilon[/mm] Ker (C) [mm]\Rightarrow[/mm] C*x= 0
> und weiter? Bin ich dann im nächsten Schritt schon am
> Ziel?
>
> Rückrichtung: Sei [mm]b^{t}*x=0 \varepsilon[/mm] ??
>
> Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ich mir zu (i) die
> richtige Matrix nennen könntet und mir zu (iii) einen
> Denkanstoß geben könntet!
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> rubstudent88 $
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Hallo angela,
ich danke dir für deine ausführliche Antwort. Es war wohl doch etwas zu spät; ich hatte einfach die Vektoren multipliziert und den b Vektor zur Veranschaulichung nicht als Zeilenvektor hingeschrieben.
Jetzt habe ich es aber, denke ich:
[mm] \pmat{ a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots & a_{1}b_{n} \\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots & a_{2}b_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m}b_{1} & a_{m}b_{2} & \cdots & a_{m}b_{n} }
[/mm]
Ist dies soweit richtig?
Vielen Dank nochmal für die Hilfe,
MFG
rubstudent
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> Hallo angela,
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> ich danke dir für deine ausführliche Antwort. Es war wohl
> doch etwas zu spät; ich hatte einfach die Vektoren
> multipliziert und den b Vektor zur Veranschaulichung nicht
> als Zeilenvektor hingeschrieben.
>
> Jetzt habe ich es aber, denke ich:
>
> [mm]\pmat{ a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots & a_{1}b_{n} \\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots & a_{2}b_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m}b_{1} & a_{m}b_{2} & \cdots & a_{m}b_{n} }[/mm]
>
> Ist dies soweit richtig?
Hallo,
ja, das stimmt jetzt.
Wenn Du Dir jetzt die Zeilen mal anschaust, dann siehst Du, daß sie allesamt Vielfache eine Zeilenvektors sind, genauso sind die Spalten alle Vielfache eines Spaltenvektors.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Fr 27.03.2009 | | Autor: | tau |
Hallo.
Ich weis nicht ganz warum Ihr das so machen muesst, nun gut, dann wird es so sein.
i sollte aus dem vorigem Beitrag klar sein, der Rang der Matrix und eine Basis zu bestimmen sollte auch kein Problem sein (ii).
zu iii: Ich wuerde sagen, schau die Mal an, wie der Kern einer Matrix bzw einer Abbildung definiert ist.
So ist die Rueckrichtung ziemlich einfach, da Vorraussetzung ist, dass b ungleich 0 ist. Bei der Hinrichtung solltest Du eine Fallunterscheidung machen oder das kannst DU auch per Widerspruch, anenommen x gleich 0 und schon bist Du fertig
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Hallo tau,
auch dir möchte ich für deine Antwort danken :).
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> Ich weis nicht ganz warum Ihr das so machen muesst, nun
> gut, dann wird es so sein.
>
Diese Frage verstehe ich allerdings nicht ganz? Wie meinst du das?
zu (ii): Jetzt bin ich mit der Basis doch etwas überfordert. Normalerweise würde ich eine Matrix in ZSF bringen und dann kann man ja die Basis ablesen. Ist hier die Basis die kanonische Basis? Denn mir ist nicht wirklich klar, wie ich bei so einer allgemeinen Matrix auf die Zeilenstufenform kommen.
Zum Rang: Es gilt ja: Rang(A)=ZR(A)=SR(A)
Und ZR(A) ist ja [mm] =dim(span\{z_{1}...z_{n}\}
[/mm]
[mm] SR(A)=dim(span\{s_{1}...s_{n}\}
[/mm]
dim(Ker(A)=n-Rang(A)
Rang(A)=n-dim(Ker(A))
Also ich würd mit diese Dimensionformel arbeiten. Wäre der Rang dann: n-m? Weil der Kern m Zeilen hat?
Zu (iii): Die Rückrichtung steht dann also: Sei [mm] b^{t}*x=0; [/mm] Nach Vorraussetzung wissen wir, das b [mm] \not= [/mm] 0; Also ist x=0 und deshalb Bestandteil des Kerns?
Zur Hinrichtung verstehe ich nicht, wieso es zum Widerpsruchbeweis führt, wenn ich sage x=0? Bzw. Welche Fälle muss ich unterscheiden? x=0 und [mm] X\not=0?
[/mm]
MFG
Rubstudent88
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> zu (ii): Jetzt bin ich mit der Basis doch etwas
> überfordert. Normalerweise würde ich eine Matrix in ZSF
> bringen und dann kann man ja die Basis ablesen. Ist hier
> die Basis die kanonische Basis?
Hallo,
schau Dir hierzu meinen Tip in der anderen Antwort an.
Wovon sind die Zeilen alle Vielfache?
Wenn Du das hast, dann hast Du die Zeilenstufenform schnell.
> Zu (iii): Die Rückrichtung steht dann also: Sei [mm]b^{t}*x=0;[/mm]
> Nach Vorraussetzung wissen wir, das b [mm]\not=[/mm] 0; Also ist x=0
> und deshalb Bestandteil des Kerns?
Nein.
Es ist doch beispielsweise [mm] \pmat{1&2&3}*\vektor{2\\-1\\0} [/mm] =0, und der zweite Vektor ist sicher nicht gleich dem Nullvektor.
Aber Du kannst ja mal überlegen, was passiert, wenn Du an [mm] b^{t}*x=0 [/mm] vorne a daranmultiplizierst.
Zum Hinweg:
Ich glaube, daß es hilft, wenn Du Dir erstmal klarmachst, welches "Format" [mm] b^t*x [/mm] hat.
Nun nimm an, x im Kern von C ist und daß [mm] b^t*x\not=0,
[/mm]
Überlege Dir das Format von a, und was herauskommt, wenn Du a*(b^tx) berechnest.
Da x n.V. im Kern ist, muß ja die Null herauskommen. Konsequenz?
Gruß v. Angela
>
> Rubstudent88
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Hallo Angela,
ich danke dir für deine Mühen.
Ich habe die Matrix länger angeschaut und dann habe endlich der Gedankenblitz und ich habe verstanden, was du mir sagen wolltest.
Zeilenstufenform bekomme ich, indem ich ich die erste Zeile durch [mm] a_{1} [/mm] dividieren, die zweite durch [mm] a_{2} [/mm] und dann sinnvoll subtrahiere bzw. addiere. Als Zeilenstufenform kommt ja dann der Vektor [mm] b^{t} [/mm] heraus. Dieser ist dann auch die Basis für den Zeilenraum. Und wenn ich mir die angucke, dann kann [mm] (b_{1} [/mm] ... [mm] b_{n}) [/mm] nur die Basis des Zeilenraums sein.
Also ist der Rang der Matrix=n. Soweit richtig?
Zu iii) Hier habe ich wohl viel zu allgemein gedacht, ich habe ja konkrete Vekoren, muss mir auch einer sagen :).
Also Hinrichtung: Beweis durch Widerspruch:
Sei x [mm] \varepsilon [/mm] Ker (C) und [mm] b^{t}*x\not=0
[/mm]
Multipliziere ich das ganze mit A, bekomme ich ja die Matrix wieder raus:
Also dann wäre [mm] A*x\not=0. [/mm] Das steht aber im Widerspruch zur Definition des Kerns, also muss [mm] b^{t}*x=0 [/mm] sein.
Zur Rückrichtung: Sei [mm] b^{t}*x=0; [/mm] a und b sind [mm] \not=0; [/mm] Multipliziere ich die Gleichung mit a; bekomme ich meine Matrix und die Gleichung A*x=0 heraus,
Also X ist Element des Kerns.
Sind meine Basis, Rang und der Beweis bzw. Argumentation nun richtig? :)
Einen schönen Abend wünsche ich euch allen,
eurer rubstudent88
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> Zeilenstufenform bekomme ich, indem ich ich die erste Zeile
> durch [mm]a_{1}[/mm] dividieren, die zweite durch [mm]a_{2}[/mm] und dann
> sinnvoll subtrahiere bzw. addiere.
Hallo,
dividieren durch [mm] a_i [/mm] kannst (und mußt) Du natürlich nur für [mm] a_i\not=0.
[/mm]
Daß aber mindestens eins der [mm] a_i [/mm] von 0 verschieden ist, ist aufgrund der Voraussetzung [mm] a\not=0 [/mm] der Fall.
> Als Zeilenstufenform
> kommt ja dann der Vektor [mm]b^{t}[/mm] heraus. Dieser ist dann auch
> die Basis für den Zeilenraum. Und wenn ich mir die angucke,
> dann kann [mm](b_{1}[/mm] ... [mm]b_{n})[/mm] nur die Basis des Zeilenraums
> sein.
Ja.
>
> Also ist der Rang der Matrix=n. Soweit richtig?
Nein. Der Rang der Matrix ist =1. Du behältst doch genau eine Nichtnullzeile in Zeilenstufenform.
>
> Zu iii) Hier habe ich wohl viel zu allgemein gedacht, ich
> habe ja konkrete Vekoren, muss mir auch einer sagen :).
>
> Also Hinrichtung: Beweis durch Widerspruch:
>
> Sei x [mm]\varepsilon[/mm] Ker (C) und [mm]b^{t}*x\not=0[/mm]
> Multipliziere ich das ganze mit A, bekomme ich ja die
> Matrix wieder raus:
Was meinst Du hier mit A? C?a*b Welche Matrix bekommst Du heraus? (Wir haben hier zum Spielen die Vektoren a, b sowie die Matrix C zur Verfügung.)
>
> Also dann wäre [mm]A*x\not=0.[/mm]
Warum? Das muß ausgeführt werden, also vorgerechnet. Auf einen Blick ist mir das nicht klar.
> Das steht aber im Widerspruch zur
> Definition des Kerns, also muss [mm]b^{t}*x=0[/mm] sein.
> Zur Rückrichtung: Sei [mm]b^{t}*x=0;[/mm] a und b sind [mm]\not=0;[/mm]
> Multipliziere ich die Gleichung mit a; bekomme ich meine
> Matrix und die Gleichung A*x=0 heraus,
Mit A meinst Du C?
> Also X ist Element des Kerns.
Ja.
> Sind meine Basis, Rang und der Beweis bzw. Argumentation
> nun richtig? :)
Richtiger.
Gruß v. Angela
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>
> > Zeilenstufenform bekomme ich, indem ich ich die erste Zeile
> > durch [mm]a_{1}[/mm] dividieren, die zweite durch [mm]a_{2}[/mm] und dann
> > sinnvoll subtrahiere bzw. addiere.
>
> Hallo,
>
> dividieren durch [mm]a_i[/mm] kannst (und mußt) Du natürlich nur für
> [mm]a_i\not=0.[/mm]
>
> Daß aber mindestens eins der [mm]a_i[/mm] von 0 verschieden ist,
> ist aufgrund der Voraussetzung [mm]a\not=0[/mm] der Fall.
>
> > Als Zeilenstufenform
> > kommt ja dann der Vektor [mm]b^{t}[/mm] heraus. Dieser ist dann auch
> > die Basis für den Zeilenraum. Und wenn ich mir die angucke,
> > dann kann [mm](b_{1}[/mm] ... [mm]b_{n})[/mm] nur die Basis des Zeilenraums
> > sein.
>
> Ja.
Guten Morgen;
Endlich mal eine Antwort, die mich zufrieden stellt :).
>
> >
> > Also ist der Rang der Matrix=n. Soweit richtig?
>
> Nein. Der Rang der Matrix ist =1. Du behältst doch genau
> eine Nichtnullzeile in Zeilenstufenform.
Jap, ich habe da wohl tatsächlich Dimension und Rang durcheinander gebracht. Also Rang=1 ist mir klar und habe ich auch so auf mein Blatt Papier stehen.
> >
> > Zu iii) Hier habe ich wohl viel zu allgemein gedacht, ich
> > habe ja konkrete Vekoren, muss mir auch einer sagen :).
> >
> > Also Hinrichtung: Beweis durch Widerspruch:
> >
> > Sei x [mm]\varepsilon[/mm] Ker (C) und [mm]b^{t}*x\not=0[/mm]
> > Multipliziere ich das ganze mit A, bekomme ich ja die
> > Matrix wieder raus:
>
>
> Was meinst Du hier mit A? C?a*b Welche Matrix bekommst Du
> heraus? (Wir haben hier zum Spielen die Vektoren a, b sowie
> die Matrix C zur Verfügung.)
Jep, ich bin hier mit den Buchstaben doch ziemlich durcheinander gekommen.
Also ich mein folgendes: Sei x [mm]\varepsilon[/mm] Ker (C) und [mm]b^{t}*x\not=0[/mm]
Ich multipliziere a mit [mm] b^{t}*x\not=0.
[/mm]
Wenn ich das mache, bekomme ich meine Matrix C: [mm] C*x\not=0
[/mm]
Das steht aber im Widerspruch zur Definition des Kerns, also muss C*x=0 und somit [mm]b^{t}*x=0[/mm] sein.
> > Zur Rückrichtung: Sei [mm]b^{t}*x=0;[/mm] a und b sind [mm]\not=0;[/mm]
> > Multipliziere ich die Gleichung mit a; bekomme ich meine
> > Matrix und die Gleichung A*x=0 heraus,
>
> Mit A meinst Du C?
Jep, ähnlicher Fehler wie oben.
> > Also X ist Element des Kerns.
>
> Ja.
Merci :).
> > Sind meine Basis, Rang und der Beweis bzw. Argumentation
> > nun richtig? :)
>
> Richtiger.
>
> Gruß v. Angela
Ich hoffe, dass das jetzt auch richtig und von der Argumentation sauber ist. Als Zwischenschritt hätte ich natürlich noch die Vektoren a und [mm] b^{t} [/mm] hinschreiben können, aber ich denke der Schritt ist aufgrund von Teil (i) klar.
Au revoir,
rubstudent88
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> Also ich mein folgendes: Sei x [mm]\varepsilon[/mm] Ker (C) und
> [mm]b^{t}*x\not=0[/mm]
> Ich multipliziere a mit [mm]b^{t}*x\not=0.[/mm]
>
> Wenn ich das mache, bekomme ich meine Matrix C: [mm]C*x\not=0[/mm]
Hallo,
genau an dieser Stelle bist Du m.M.n zu schnell. Dieses [mm] \not=0 [/mm] ist vorzurechnen, so ganz ohne weiteres ist das nicht klar (es sei denn, ich stelle mich gerade besonders dämlich an.)
>
> Das steht aber im Widerspruch zur Definition des Kerns,
> also muss C*x=0 und somit [mm]b^{t}*x=0[/mm] sein.
"Also muß [mm] b^{t}*x=0 [/mm] sein" wäre die richtige Begründung. Cx=0 ist ja vorausgesetzt.
Wie gesagt, an dieser einen Stelle ist noch zu arbeiten. Ich würd mir das komponentenweise klarmachen.
(Nur nochmal zur Sicherheit: aus [mm] y\not=0 [/mm] folgt nicht zwingend, daß [mm] By\not=0 [/mm] ist.)
Gruß v. Angela
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