Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein endlicher Körper mit k Elementen und n [mm] \in \IN.
[/mm]
a) Wie viele invertierbare nxn Matrizen gibt es über k?
b) Wie viele nxn Matrizen gibt es über K, die mit jeder anderen nxn Matrix über K multiplikativ kommutieren? |
Zur a)
Die Matrix ist ja invertierbar, wenn die Determinante nicht Null ist. Oder auch wenn die Spalten/Zeilen linear unabhängig sind. Das heißt doch, ich kann mich fragen, wieviele Möglichkeiten es gibt, die Matrix so zu wählen, dass ihre Spalten/Zeilen linear unabhängig sind. In der erste Zeile hätte ich für die erste Stelle also k Möglichkeiten, für die zweite Stelle wieder k und so weiter bis zur letzten Stelle der ersten Zeile. (Wobei ich nicht genau weiß ob das so stimmt, weil ich ja die 0 nicht als Möglichkeit habe)
Habe ich dann für die zweite Zeile an jeder Stelle K-1 Möglichkeiten? Stimmt mein Vorgehen so?
zur b)
Was bedeutet denn, dass Matrizen multiplikativ kommutieren?
Danke für eure Ratschläge =)
|
|
| |
|
Hallo,
a) es ist sinnvoll über die lineare Unabhängigkeit der Spalten zu gehen.
Wie viele Vektoren gibt es, die von sich selbst unabhängig sind?
Wie viele Vektoren [mm] $x_1,x_2$ [/mm] gibt es die unabhängig sind?
Und dann abschließden: Wie viele linear unabhängige Vektoren [mm] $x_1, \ldots x_n$ [/mm] gibt es?
b)AB=BA für festes A und beliebiges B. Hier könnten Elementarmatrizen nützlich sein.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> a) es ist sinnvoll über die lineare Unabhängigkeit der
> Spalten zu gehen.
> Wie viele Vektoren gibt es, die von sich selbst unabhängig
> sind?
Jeder Vektor ist zu sich selbst abhängig, für [mm] \vec v = a \vec v[/mm] mit a=1, oder?
> Wie viele Vektoren [mm]x_1,x_2[/mm] gibt es die unabhängig sind?
> Und dann abschließden: Wie viele linear unabhängige
> Vektoren [mm]x_1, \ldots x_n[/mm] gibt es?
Da hab ich im Internet was zu gefunden, weiß aber nicht ob das hier stimmt: [mm] \produkt_{i=1}^{n-1} k^n-k^i
[/mm]
> b)AB=BA für festes A und beliebiges B. Hier könnten
> Elementarmatrizen nützlich sein.
>
Danke, ich werde mich jetzt mal ein bisschen intensiver mit den beiden Aufgabenstellungen befassen und mich dann noch mal melden =)
|
|
|
| |
|
> > Hallo,
> >
> > a) es ist sinnvoll über die lineare Unabhängigkeit der
> > Spalten zu gehen.
> > Wie viele Vektoren gibt es, die von sich selbst unabhängig
> > sind?
> Jeder Vektor ist zu sich selbst abhängig, für [mm]\vec v = a \vec v[/mm]
> mit a=1, oder?
Da hab ich mich leider etwas unglücklich (lies: falsch) ausgedrückt. Was ich meinte war: Wie viele symmetrischen Polynomen ektoren v gibt es, so dass die Menge [mm] $\{v\}$ [/mm] linear unabhängig ist?
> > Wie viele Vektoren [mm]x_1,x_2[/mm] gibt es die unabhängig
> sind?
Das wär der nächstschwierigere Fall.
> > Und dann abschließden: Wie viele linear unabhängige
> > Vektoren [mm]x_1, \ldots x_n[/mm] gibt es?
> Da hab ich im Internet was zu gefunden, weiß aber nicht
> ob das hier stimmt: [mm]\produkt_{i=1}^{n-1} k^n-k^i[/mm]
> >
So wie es dasteht ist es falsch, sieht man z.B. sehr gut für n=1.
> b)AB=BA für festes A und beliebiges B. Hier könnten
> > Elementarmatrizen nützlich sein.
> >
> Danke, ich werde mich jetzt mal ein bisschen intensiver mit
> den beiden Aufgabenstellungen befassen und mich dann noch
> mal melden =)
>
|
|
|
|
