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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei V der Vektorraum der reellen n x n Matrizen!
a) Zeigen sie: Die Abbildung [mm] \delta: [/mm] V-->V, A--> A + [mm] A^T [/mm] ist linear.
b)Bestimmen sie die Dimension des Kerns und des Bildes von [mm] \delta. [/mm] |
Zu a)
ich dachte mir dass ich die 2 Bedingungen zeigen muss, die füe eine lineare Abbildung gelten! Jedoch weis ich nicht wie ich dies machen soll! Oder muss ich auch noch was anderes machen?
b) ich versteh nicht, wie man ein Kern und ein Bild von einer Abbildung bekommt! Hab zwar schon in Büchern nachgelesen aber nicht so richtig verstanden!
Hoffe mir kann jemand helfen! Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 So 14.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
Kann mir denn niemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 So 14.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
Kann mir denn wirklich keiner helfen?
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Hallo
V = [mm] \{Mn(\IR)\} [/mm] , [mm] \delta:V\rightarrow [/mm] V: [mm] a\mapsto A+A^T
[/mm]
(a) Um zu zeigen, dass [mm] \delta [/mm] eine lineare Abbildung ist, musst du zwei Dinge zeigen:
(1) [mm] \forall A,B\in [/mm] V: [mm] \delta(A+B)=\delta(A)+\delta(B)
[/mm]
[mm] (2)\forall\lambda\in\IR\forall A\in [/mm] V: [mm] \delta(\lambda A)=\lambda\delta(A) [/mm]
dh. für (1): Seinen A,B [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow\delta(A)=A+A^T [/mm] und [mm] \delta(B)=B+B^T
[/mm]
[mm] \Rightarrow\delta(A+B)=(A+B)+(A+B)^T=(A+B)+(A^T+B^T)=(A+A^T)+(B+B^T)=\delta(A)+\delta(B)
[/mm]
(2) Sei [mm] \lambda\in\IR [/mm] und [mm] A\in [/mm] V , [mm] A=(a_{ij}) \Rightarrow\lambda A=(\lambda a_{ij}) [/mm] und [mm] (\lambda A)^T=(\lambda a_{ji})
[/mm]
[mm] \Rightarrow\delta(\lambda A)=(\lambda a_{ij})+(\lambda a{ij})^T=\lambda A+\lambda A^T=\lambda\delta(A)
[/mm]
(b) Bedenke, dass [mm] Kern(\delta)=\{A\in V|\deltaa(A)=0\}
[/mm]
schaue also, für welche [mm] A\in [/mm] V gilt: [mm] A+A^T=0
[/mm]
Des weiteren gibt es die sog. Dimensionsformel: [mm] dimV=dimKern(\delta)+dimBild(\delta)
[/mm]
Hast du also zB die Dimension des Kernes, kannst du also die Dimension des Bildes nach o.g. Formel berechnen
Hoffe, das hilft dir
Gruß
schachuzipus
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Also die a) hab ich verstanden!
Aber bei b) weis ich nicht, wie man so ein A rausbekommt sodass [mm] A+A^T [/mm] = 0 ist! Oder wie man das generell machen muss!
Auch nicht bei der 2. Teilaufgabe!
Hoff es kann mir jemand weiter helfen!
Danke
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zu b)
Für den Kern muss ja gelten, dass [mm] A+A^T [/mm] = 0 ist.
D.h. ich muss ja schauen für welches A dies gilt! kann ich dies einfach auflösen, sodass mein A= - [mm] A^T [/mm] ist woraus dann folgt, dass mein Kern - [mm] A^T [/mm] ist?
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ist die dim ker [mm] \delta [/mm] = n?
und die dim Im [mm] \delta [/mm] = n?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 17.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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