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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mo 12.05.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Gegeben seien die reellen Matrizen
[mm] P=\pmat{ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] und [mm] Q=\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 }
[/mm]
a) Welche Formate haben P und Q?
b) Geben Sie die Abbildungsvorschrift von P [mm] \circ [/mm] Q an.
c) Stellen Sie Bild und Kern von P [mm] \circ [/mm] Q möglichst einfach dar.
d) Sei nun A eine Matrix aus [mm] \IR^2,2 [/mm] und seien [mm] \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}} [/mm] Vektoren aus [mm] \IR^2. [/mm] Beweisen oder Widerlegen Sie folgende Aussagen:
(i)Sind [mm] \vec{v_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}} [/mm] linear abhängig, so sind auch [mm] A\vec{v_{1}} [/mm] und [mm] A\vec{v_{2}} [/mm] linear abhängig.
(ii)Sind [mm] A\vec{v_{1}} [/mm] und [mm] A\vec{v_{2}} [/mm] linear abhängig, so sind auch [mm] \vec{v_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}} [/mm] linear abhängig.
(iii)Sind [mm] A\vec{v_{1}} [/mm] und [mm] A\vec{v_{2}} [/mm] linear unabhängig, so sind auch [mm] \vec{v_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}} [/mm] linear unabhängig.
(iv)Sind [mm] \vec{v_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}} [/mm] linear unabhängig, so sind auch [mm] A\vec{v_{1}} [/mm] und [mm] A\vec{v_{2}} [/mm] linear unabhängig. |
Hallo zusammen!
Ich brauche ein wenig support ;)
zu
a)
Format von [mm] P=2\times3
[/mm]
Format von [mm] Q=3\times2
[/mm]
Ich denke mal das Erwähnte ist gesucht.
zu
b)
Hier ist mir nicht ganz klar wie ich die Komposition bzw. Hinterenanderausführung (ist das überhaupt damit gemeint?) bewerten soll. Ich kann ja z.B. die Matrix P und Q nehmen. Die Abbildungsvorschriften für P und Q sind
P: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] | x [mm] \to P\vec{x}
[/mm]
da P lediglich in den [mm] R^{2} [/mm] abbildet.
Q: [mm] \IR^{2} \to \IR^{3} [/mm] | x [mm] \to Q\vec{x}
[/mm]
da Q lediglich in den [mm] R^{3} [/mm] abbildet.
Was passiert nunn also mit der Hintereinanderausführung?
[mm] P\circQ R^{3} \to R^{3} [/mm] | x [mm] \to P\circQ\vec{x} [/mm] ????
Reicht das als Angabe? und ist das überhaupt korrekt?
zu
c)
Das Bild [mm] (P\circQ) [/mm] ist ja gleich dem span aller möglichen Linearkombinationen, wobei ich den span auf die Vektoren beschränken kann, mit denen alle Vektoren gebildet werden können. Ich denke hier soll gerechnet werden. Nur wie das angestellt wird ist mir noch nicht so ganz klar.
zu
d)
Hier brauche ich einen Schubs in die richtige Richtung, damit ich weiß wo ich ansetzen soll.
Vielen Dank für die Hilfe.
Viele Grüße!
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> Gegeben seien die reellen Matrizen
>
> [mm]P=\pmat{ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm] und [mm]Q=\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> a) Welche Formate haben P und Q?
>
> b) Geben Sie die Abbildungsvorschrift von P [mm]\circ[/mm] Q an.
>
> c) Stellen Sie Bild und Kern von P [mm]\circ[/mm] Q möglichst
> einfach dar.
>
> d) Sei nun A eine Matrix aus [mm]\IR^2,2[/mm] und seien [mm]\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}[/mm]
> Vektoren aus [mm]\IR^2.[/mm] Beweisen oder Widerlegen Sie folgende
> Aussagen:
>
> (i)Sind [mm]\vec{v_{1}}[/mm] und [mm]\vec{v_{2}}[/mm] linear abhängig, so
> sind auch [mm]A\vec{v_{1}}[/mm] und [mm]A\vec{v_{2}}[/mm] linear abhängig.
> (ii)Sind [mm]A\vec{v_{1}}[/mm] und [mm]A\vec{v_{2}}[/mm] linear abhängig, so
> sind auch [mm]\vec{v_{1}}[/mm] und [mm]\vec{v_{2}}[/mm] linear abhängig.
> (iii)Sind [mm]A\vec{v_{1}}[/mm] und [mm]A\vec{v_{2}}[/mm] linear
> unabhängig, so sind auch [mm]\vec{v_{1}}[/mm] und [mm]\vec{v_{2}}[/mm]
> linear unabhängig.
> (iv)Sind [mm]\vec{v_{1}}[/mm] und [mm]\vec{v_{2}}[/mm] linear unabhängig, so
> sind auch [mm]A\vec{v_{1}}[/mm] und [mm]A\vec{v_{2}}[/mm] linear
> unabhängig.
> Hallo zusammen!
>
> Ich brauche ein wenig support ;)
>
>
> zu
> a)
>
> Format von [mm]P=2\times3[/mm]
>
> Format von [mm]Q=3\times2[/mm]
>
> Ich denke mal das Erwähnte ist gesucht.
Hallo,
ja, das denke ich auch.
>
>
> zu
> b)
>
> Hier ist mir nicht ganz klar wie ich die Komposition bzw.
> Hinterenanderausführung (ist das überhaupt damit
> gemeint?) bewerten soll.
Die Frage ist etwas undeutlich formuliert, finde ich.
Durch die Matrix P wird ja eine lineare Abbildung [mm] f_P [/mm] beschrieben mit
[mm] f_P:\IR^3\to \IR^2 [/mm] mit
[mm] f_P(x):=Px=\vektor{ 3x_1 +1x_2 +1x_3 \\ 0x_1 +1x_2 +1x_3 } [/mm] für alle [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in \IR^3,
[/mm]
durch die Matrix Q wird eine lineare Abbildung [mm] f_Q [/mm] beschrieben mit
[mm] f_Q:\IR^2\to \IR^3 [/mm] mit
[mm] f_Q(x):=Qx= [/mm] ... für alle [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2,
[/mm]
und Du sollst nun die Abbildungsvorschrift der Abbildung [mm] f_P\circ f_Q [/mm] sagen, also von wo nach wo abgebildet wird, und wie das geschieht.
Es ist [mm] f_P\circ f_Q(x) [/mm] ja definiert durch [mm] (f_P\circ f_Q)(x):= f_P( f_Q(x)), [/mm] also haben wir eine Abbildung [mm] \IR^2\to \IR^2,
[/mm]
und Du sollst nun die Abbildungsvorschrift sagen: [mm] (f_P\circ f_Q)\vektor{x_1\\x_2}= [/mm] ???
Du wist feststellen, daß man diese Abbildung beschreiben kann durch die Matrix P*Q.
> zu
> c)
>
> Das Bild [mm](P\circQ)[/mm] ist ja gleich dem span aller möglichen
> Linearkombinationen, wobei ich den span auf die Vektoren
> beschränken kann, mit denen alle Vektoren gebildet werden
> können. Ich denke hier soll gerechnet werden. Nur wie das
> angestellt wird ist mir noch nicht so ganz klar.
Es ist hier eine Basis des von den Spalten von P*Q aufgespannten Raumes zu bestimmen.
>
>
> zu
> d)
>
> Hier brauche ich einen Schubs in die richtige Richtung,
> damit ich weiß wo ich ansetzen soll.
Naja, die Matrix A ist eine [mm] 2\times [/mm] 2-Matrix, die Darstellungsmatrix der durch [mm] f_A(x):=Ax [/mm] gegebenen linearen Abbildung.
(i)Sind $ [mm] \vec{v_{1}} [/mm] $ und $ [mm] \vec{v_{2}} [/mm] $ linear abhängig, so sind auch $ [mm] A\vec{v_{1}} [/mm] $ und $ [mm] A\vec{v_{2}} [/mm] $ linear abhängig
Hier ist zu überlegen, ob bei einer linearen Abbildung aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] bei linear abhängigen Vektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] auch deren Bilder linear abhängig sind, oder ob die Bilder auch linear unabhängig sein können.
Können sie nicht:
Seien [mm] v_1, v_2 [/mm] linear abhängig. Dann gibt es Zahlen [mm] \lambda_1, \lambda_2, [/mm] die nicht beide =0 sind, und für welche [mm] \lambda_1v_1+\lambdav_2=0 [/mm] gilt.
Dann ist [mm] \lambda_ Av_1+ \lambda_2 Av_2= A(\lambda_1v_1)+...=A(\lambda_1v_1+...)= [/mm] A*0=0, also ...
Wenn Du das hast, versuche die anderen.
LG Angela
>
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
> Viele Grüße!
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