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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 12.01.2016 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Sei $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und $a, b [mm] \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit $a [mm] \not= [/mm] b$. Entscheide jeweils, ob die folgenden Matrizen $A, B [mm] \in \mathbb{R}^4$ [/mm] ähnlich sind:
a) $ A = [mm] \pmat{ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a }, [/mm] B = [mm] \pmat{ b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b }$
[/mm]
b) $A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0}, [/mm] B = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0}$ [/mm] |
Hallo,
ich brauche nochmal Hilfe für meine Hausaufgaben. Bei der oben genannten Aufgabe komme ich nicht weiter. Ähnlichkeit zwischen $A$ und $B$ liegt ja nach Definition vor, wenn $S$ existiert mit $A = [mm] SBS^{-1}$.
[/mm]
Ich "vermute", dass $A$ und $B$ in a) nicht ähnlich und in b) ähnlich sind. Jedoch kann ich das in a) nicht beweisen, und in b) komme ich nicht auf die Matrix $S$. Es mag Methoden geben, mit denen man Ähnlichkeiten nachweisen kann (Ich las im Internet etwas von Eigenvektoren etc... ), das kann ich allerdings nicht benutzen, weil wir diese Themen noch gar nicht im Stoff hatten. Nicht einmal Determinanten "kenne" ich.
Es wird also vermutlich darauf hinaus laufen, in b) die Matrix S explizit anzugeben.
Wie immer bin ich für jede Hilfe dankbar.
Gruß,
Sandro
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Hallo,
> Sei [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] und [mm]a, b \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}[/mm]
> mit [mm]a \not= b[/mm]. Entscheide jeweils, ob die folgenden
> Matrizen [mm]A, B \in \mathbb{R}^4[/mm] ähnlich sind:
>
> a) [mm]A = \pmat{ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a }, B = \pmat{ b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b }[/mm]
>
> b) [mm]A = \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0}, B = \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich brauche nochmal Hilfe für meine Hausaufgaben. Bei der
> oben genannten Aufgabe komme ich nicht weiter. Ähnlichkeit
> zwischen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] liegt ja nach Definition vor, wenn [mm]S[/mm]
> existiert mit [mm]A = SBS^{-1}[/mm].
>
> Ich "vermute", dass [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] in a) nicht ähnlich und in b)
> ähnlich sind. Jedoch kann ich das in a) nicht beweisen,
> und in b) komme ich nicht auf die Matrix [mm]S[/mm]. Es mag Methoden
> geben, mit denen man Ähnlichkeiten nachweisen kann (Ich
> las im Internet etwas von Eigenvektoren etc... ), das kann
> ich allerdings nicht benutzen, weil wir diese Themen noch
> gar nicht im Stoff hatten. Nicht einmal Determinanten
> "kenne" ich.
>
> Es wird also vermutlich darauf hinaus laufen, in b) die
> Matrix S explizit anzugeben.
Probiere es doch direkt.
Die Ähnlichkeitsbedingung kannst du auch formulieren als
[mm]AS=SB[/mm]
Nimm dir also eine Matrix [mm]S=\pmat{s_{11}&s_{12}&s_{13}&s_{14}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}&s_{24}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}&s_{34}\\s_{41}&s_{42}&s_{43}&s_{44}}[/mm] her und rechne beide Matrixprodukte aus.
Du hast ja viele Nullen in [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm], da ist die Rechnung nicht so aufwendig ...
>
> Wie immer bin ich für jede Hilfe dankbar.
>
> Gruß,
> Sandro
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Di 12.01.2016 | | Autor: | sandroid |
Wunderbar, das hat mir sehr geholfen, vielen Dank!
Eigentlich hätte ich selbst drauf kommen sollen 
Gruß,
Sandro
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