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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:14 Mo 22.05.2006 | | Autor: | hiltrud |
| Aufgabe | | Es sei A eine n [mm] \times [/mm] n -Matrix , für die gilt AB=BA für alle n [mm] \times [/mm] n -Matrizen B. Zeigen Sie: Es gibt ein [mm] \lambda \in [/mm] K mit B= [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{n} [/mm] |
Hallo, ich musste mich hier mal anmelden da ich kein anderen Ausweg sehe.
Also das ist die letzte Aufgabe, die ich lösen muss, aber ich habe keine Ahnugn wie ich das zeigen kann. Davon habe ich absolut keine Ahnung. Ich hoffe mir kann jemand hier helfen.
Danke schon mal im vorraus für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Mo 22.05.2006 | | Autor: | kretschmer |
Hallo hiltrud und herzlich Willkommen im Matheraum.
Soll es am Ende wirklich [mm] $B=\lambda E_n$ [/mm] heißen und nicht [mm] $A=\lambda E_n$? [/mm] Weil in der Aufgabe steht ja direkt $AB=BA$ für alle Matrizen $B$.
Falls man zeigen soll, dass [mm] $A=\lambda E_n$, [/mm] so denke ich, kann man dieses sehr einfach per Widerspruch machen. Also angenommen $A$ hat nicht die angegebene Diagonalform, dann wird man leicht ein $B$ finden, so dass [mm] $AB\ne [/mm] BA$.
--
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Mo 22.05.2006 | | Autor: | hiltrud |
danke das du dir die aufgabe mal angeguckt hast....also habe nochmal nachgeguckt und die aufgabe so wie ich sie da stehen hat stimmt,also B=...
kannst du mir da weiterhelfen?wäre super
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mo 22.05.2006 | | Autor: | kretschmer |
Hallo,
dann ist aber die Aufgabe nicht geschickt gestellt. Denn es soll doch gerade für alle Matrizen $B$ gelten, dass $AB=BA$. Eine Aussage, wie [mm] $B=\lambda E_n$ [/mm] ist natürlich nicht sinnig, da es nicht klar ist, von welchem $B$ gesprochen wird.
Es gilt natürlich für alle Matrizen [mm] $B=\lambda E_n$, [/mm] dass $AB=BA$, falls $A$ von der Form, dass für alle Matrizen $C$ gilt $AC=CA$. Aber [mm] $B=\lambda E_n$ [/mm] sind nicht die einzigen Matrizen mit dieser Eigenschaft, da es ja gerade für alle [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen gilt. Mit anderen Worten, diese Aussage wäre widerlegt. Vielleicht ist in der Aufgabenstellung, die Dir gegeben wurde, schon ein entsprechender Schreibfehler. So macht jedenfalls die Aufgabe keinen Sinn.
--
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 23.05.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey, danke,ist das denn so richtig und schon fertig oder muss man das anders zeigen?ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen,das soll nämlich eine klausurrelevante aufgabe sein
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Hallo,
also der Gegenbeweis ist soweit fertig. Allerdings, wie gesagt, ich würde wirklich behaupten, dass es ein Fehler in der Aufgabenstellung ist, da diese so wirklich keinen Sinn macht.
Um das andere zu zeigen, habe ich vermutet, dass ein Widerspruchsbeweis nützlich ist. Das ist natürlich aufwendiger. Ich habe das auch nicht durchdacht. Als Klausurvorbereitung würde ich mir wirklich auch die Aufgabe mit [mm] $A=\lambda E_n$ [/mm] anschauen. Wie gesagt, ich tippe auf Widerspruch. Also einfach mal annehmen, man hat ein $A$, dass nicht so ausschaut und rechnet nach, dass es nicht die gewünschte Eigenschaft haben kann ...
--
Gruß
Matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 Di 23.05.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey danke, habe gerade meinen prof nochmal gefragt und er meine da wäre doch eins chreibfehelr drinne. also muss das A=.... heißen und nicht B=...
kannst du mir dabei auch helfen?wäre super, verstehe das nämlich nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Di 23.05.2006 | | Autor: | kretschmer |
Hallo,
dazu mußt Du schonmal vorarbeit leisten. Ich habe ja oben erklärt, wie man an die Aufgabe herangehen kann. Wenn Du sagst, bis wohin Du gekommen bist und wo deine Probleme lagen, kann ich (oder wer anders) Dir gerne weiter helfen.
--
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 23.05.2006 | | Autor: | hiltrud |
" Wie gesagt, ich tippe auf Widerspruch. Also einfach mal annehmen, man hat ein A, dass nicht so ausschaut und rechnet nach, dass es nicht die gewünschte Eigenschaft haben kann ... "
das war dein tipp, aber ich komme da icht auf den ansatz, da ich nicht ganz nachvollziehen kann, was du damit meinst
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Hallo,
auch wenn die Zeit abgelaufen ist, möchte ich noch Dir die passenden Hinweise geben.
Also ich dachte an sowas von der Art: Sei $A$ eine Matrix der Form, dass es kein [mm] $\lambda$ [/mm] gibt, so dass [mm] $A=\lambda E_n$. [/mm] Zuerst zeigt man am besten, dass es keine Matrix, die nicht Diagonalform hat, die gewünschte Eigenschaft nicht hat. Also man geht mal davon aus, dass es zwei [mm] $i\ne [/mm] j$ gibt, so dass [mm] $a_{i,j}\ne [/mm] 0$. Dann nimmt man sich jetzt eine Matrix $B$ mit der Eigenschaft [mm] $AB\ne [/mm] BA$. Dies bekommt man einfach darüber hin, dass man eine generiert, die nur einen Eintrag [mm] $\ne [/mm] 0$ hat. Eben genau an der richtigen Stelle. Als nächstes schließt man alle Matrizen in Diagonalform aus, für die nicht gilt [mm] $A=\lambda E_n$. [/mm] Also angenommen es existieren zwei [mm] $i\ne [/mm] j$ mit [mm] $a_{i,i}\ne a_{j,j}$. [/mm] Jetzt kann man sich wieder eine passende Matrix $B$ konstruieren, für die das gewünschte gilt.
Also wissen wir als erstes, dass höchstens eine Matrix der Form [mm] $\lambda E_n$ [/mm] die gewünschte Eigenschaft hat. Das alle dieser Form diese haben, kann man leicht "nachrechnen".
--
Gruß
Matthias
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