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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Do 09.08.2007 | | Autor: | slinger |
| Aufgabe | Ermitteln sie X und Y die folgendes Gleichungssystem erfüllen:
XA+BY+C=0 und AX - Y + 3B =0
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Bräuchte nur erstmal einen Lösungsansatz. Die Regulären operationen sind mir bekannt, jedoch weiß ich nciht wie ich mit 2 Unbekannten umzugehen habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo slinger,
> Ermitteln sie X und Y die folgendes Gleichungssystem
> erfüllen:
>
> XA+BY+C=0 und AX - Y + 3B =0
>
> Bräuchte nur erstmal einen Lösungsansatz.
Du mußt also folgendes Gleichungssystem lösen (z.B. mit dem Gauss-Algorithmus):
[mm]\left(\begin{array}{cc|c}A&B&-C\\A&-1&-3B\end{array}\right)[/mm]
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 09.08.2007 | | Autor: | slinger |
Es handelt sich ja um Matrizen. Daher meine Frage ob es erlaubt ist A einfach von X zu trennen, da es ja entscheidend ist ob das X von rechts oder von links an A multipliziert wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 09.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hi Slinger,
ich denke das XA anstelle von AX hat Karl einfach übersehen
(die unteren zwei Drittel dieses Textes, die als erstes entstanden
sind, ging es mir genauso). Das wird glaube ich ein bisschen
schwieriger falls X eine quadratische Matrix ist. Falls X
aber vektoriell gemeint ist genügt Dir
[mm] $(X^\top A)^\top [/mm] = [mm] (A^\top [/mm] X)$
Abgesehen davon wird A in Karls Lösung nicht von X getrennt:
$ [mm] \left(\begin{array}{cc|c}A^\top&B&-C\\A&-1&-3B\end{array}\right) [/mm] $
ist eine abkürzende Schreibweise für das LGS
[mm]
\left(\begin{array}{cc}A^\top &B\\A&-1\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}X\\Y\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}-C\\-3B\end{array}\right)
[/mm],
welches Deine beiden ursprünglichen Gleichungen in einer
Matrix zusammenfasst:
Der obere Block beschreibt Deine erste Gleichung:
[mm] $X^\top [/mm] A+BY=-C$
Der untere die Zweite:
$AX-Y=-3B$
Liebe Grüße,
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 09.08.2007 | | Autor: | slinger |
Danke erstmal für die Antwort. So macht es auch Sinn. Allerdings komme ich leider trotz der Hilfe nicht weiter.
Gegeben sind die Matrizen A,B und C
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
C = [mm] \pmat{ -3 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Und ich hab auch die Lösung gegeben(also nicht selber errechnet:
X = [mm] \pmat{ \Lambda+3 & 1/2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Y = [mm] \pmat{ \Lambda & 1/2 \\ 0 & -1 }
[/mm]
Jedoch weiß ich nicht wie ich, nachdem nun das Gleichungssystem aufgestellt ist mein weitere vorgehen ist. Wo kommt die Variable /Lambda in der Lösung her? Normalerweise würde ich versuchen A zu eliminieren. Allerdings bekomme ich kein befriedigendes Ergebnis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 09.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hi Slinger,
okokok... Du WILLST X und Y als Matrizen. Und Du hast A,B und C schon explizit gegeben!
Sag das doch gleich... zumal A und B ausgesprochen einfache Formen haben!
Nun, dann löse es so:
* Schreibe die Gleichungen explizit hin. Auch die Matrizen X und Y mit ihren insgesamt
8 Unbekannten.
* Führe die Multiplikation der Matrizen aus.
* Schaue Dir die insgesamt 8 Gleichungen an, die sich ergeben.
[mm] $\pmat{ X_1 & -X_2 \\ X_3 & -X_4 } [/mm] + [mm] \pmat{ -Y_1 & -Y_2 \\ 0 & 0 }=\pmat{ -3 & 1 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
[mm] $\pmat{ X_1 & X_2 \\ -X_3 & -X_4 } [/mm] + [mm] \pmat{ -Y_1 & -Y_2 \\ -Y_3 & -Y_4 }=\pmat{ -3 & 0 \\ 0 & 0 }$
[/mm]
Dann kommst Du schon weiter. Du kannst zum Beispiel aus der ersten Gleichung jeweils
zweite Spalte, zweite Zeile direkt ablesen, dass
[mm] $-X_4=1$
[/mm]
Ich habe die Aufgabe komplett auf diese Weise durchge-ixt. Am Ende kommst Du auf
ein 2x2-LGS, welches überbestimmt ist. So kommt Dein [mm] $\Lambda$ [/mm] mit rein.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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