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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:14 Fr 06.01.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum [mm] \IR^{n,n} [/mm] der quadratischen n-reihigen Matrizen über dem Körper [mm] \IR. [/mm] Weiter sei
[mm] U_{1} [/mm] := { A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] : [mm] A^{T} [/mm] = A}
die Menge der symmetrischen und
[mm] U_{2} [/mm] := { A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] : [mm] A^{T} [/mm] = -A}
die Menge der schief- oder anti-symmetrischen Matrizen.
Ziel der Aufgabe ist es
[mm] \IR^{n,n} [/mm] = [mm] U_{1} \oplus U_{2}
[/mm]
zu zeigen.
(a) Es sind [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] Unterräume von [mm] R^{n,n}.
[/mm]
(b) Die Summe der beiden Unterräume ist direkt.
(c) Die Summer der Unterräume ist [mm] R^{n,n}. [/mm] Man zeige also
[mm] R^{n,n} [/mm] = [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}.
[/mm]
(d) man bestimme die Dimension von [mm] U_{1} [/mm] und die Dimension [mm] U_{2} [/mm] in Abhängigkeit von n. |
Hey Leute,
mal wieder ne Frage von mir.
Versteh nicht ganz wie ich bei der (a) anfangen muss.
Bei [mm] U_{1} [/mm] muss ja jedes Matrizenelement gleich sein.
Also z.B. ne Matrix bestehend aus 4 Zeilen / Spalten mit lauter 1en würde diese Bedingung erfüllen.
Um zu zeigen dass es ein Unterraum ist, muss ich doch zeigen, dass die 0 enthalten ist (also Nullmatrix) und dass die Unterräume hinsichtlich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen sind.
Aber da haperts dann...
Wie zeig ich das am besten ? -.-
Bei ner andern Aufgabe musste man nur 2 Vektoren aus dem Untervektorraum nehmen. Aber wie mach ich das mit ner Matrix als Untervektorraum ?
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Fr 06.01.2012 | | Autor: | uliweil |
Hallo S1mn,
folgende Anmerkungen zu Deinen Ausführungen:
> Hey Leute,
>
> mal wieder ne Frage von mir.
>
> Versteh nicht ganz wie ich bei der (a) anfangen muss.
>
> Bei [mm]U_{1}[/mm] muss ja jedes Matrizenelement gleich sein.
Nein, auch die Matrix [mm] \pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6} [/mm] ist symmetrisch. Symmetrie heißt nur, dass bei Spiegelung der Matrix an ihrer Hauptdiagonale, die gleiche Matrix wieder rauskommt.
> Also z.B. ne Matrix bestehend aus 4 Zeilen / Spalten mit
> lauter 1en würde diese Bedingung erfüllen.
>
> Um zu zeigen dass es ein Unterraum ist, muss ich doch
> zeigen, dass die 0 enthalten ist (also Nullmatrix)
Es reicht zu zeigen, dass die Untermenge, deren Unterraumeigenschaft gezeigt werden soll, nicht leer ist. (Da kann man natürlich auch das neutrale Element der Addition, also hier die Nullmatrix benutzen)
> und dass
> die Unterräume hinsichtlich Addition und skalarer
> Multiplikation abgeschlossen sind.
>
> Aber da haperts dann...
> Wie zeig ich das am besten ? -.-
> Bei ner andern Aufgabe musste man nur 2 Vektoren aus dem
> Untervektorraum nehmen. Aber wie mach ich das mit ner
> Matrix als Untervektorraum ?
Ein Vektorraum besteht aus Vektoren, deshalb heißt er so, oder anders ausgedrückt, die Elemente eines Vektorraumes werden Vektoren genannt. Dass dies hier Matrizen sind ist unerheblich. Es gibt unzählige andere Vektoräume, deren Elemente sich nicht so [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] schreiben lassen. Nimmt also 2 und rechne los.
>
> Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 08.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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