Max-stelle bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 13.06.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Die Einschränkung der Funktion f : R [mm] \to [/mm] R, f(x, y) = x + y auf die Teilmenge
A = [mm] \{(x, y) \in R^2; x^2 + 3y^2 \le 1\}
[/mm]
besitzt eine genau eine Maximumstelle. Warum? Wo liegt diese Stelle? |
Hallo,
ich muss also ableiten, um Max-stelle zu bestimmen, wenn ich nur eine finde folgt damit direkt die existenz und eindeutigkeit.
aber f muss ich jeztz wie ableiten?
warum ist f überhaupt diff'bar?
MfG
CPH
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> Die Einschränkung der Funktion f : R [mm]\to[/mm] R, f(x, y) = x +
> y auf die Teilmenge
> A = [mm]\{(x, y) \in R^2; x^2 + 3y^2 \le 1\}[/mm]
> besitzt eine
> genau eine Maximumstelle. Warum? Wo liegt diese Stelle?
> Hallo,
>
> ich muss also ableiten, um Max-stelle zu bestimmen, wenn
> ich nur eine finde folgt damit direkt die existenz und
> eindeutigkeit.
Aus dem Verhalten der Ableitung kannst Du nur auf Extremstellen im Innern von [mm]A[/mm] schliessen. - Aber da ist noch der Rand von [mm]A[/mm]: der erfordert eine gesonderte Betrachung...
>
> aber f muss ich jeztz wie ableiten?
Wenn Dir eine solche Aufgabe gestellt wird, musst Du doch die dazu nötige Theorie gehabt haben. - Nicht? - Schau mal in Deinen Unterlagen nach.
> warum ist f überhaupt diff'bar?
Weil [mm]f[/mm] eine Zusammensetzung diff'barer Funktionen ist. Im Detail: die beiden Projektionen [mm]\pi_x:(x,y)\mapsto x[/mm] und [mm]\pi_y:(x,y)\mapsto y[/mm] auf die Koordinatenachsen sind diff'bar und die Summe [mm]f := \pi_x+\pi_y[/mm] diff'barer Funktionen ist diff'bar.
Zusatzbemerkung: Schau mal den Gradienten (die Ableitung) von [mm]f[/mm] und das Gebiet [mm]A[/mm] genauer an. Dann siehst Du, dass die einzige Maximalstelle derjenige Punkt auf dem Rand von [mm]A[/mm] (einer Ellipse) sein muss, dessen Tangente senkrecht auf dem Gradienten von [mm]f[/mm] steht. (Andernfalls könnte man noch ein kleines Stück in Richtung des Gradienten von [mm]f[/mm] gehen und damit den Wert von [mm]f(x,y)[/mm] weiter erhöhen.)
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