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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:58 So 29.05.2005 | | Autor: | starup |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.matheboard.de
Ich habe morgen eine Matheprüfung über ua Maxima/Minima. Nach vielem Üben gibt es noch 4 Aufgaben die ich nicht zu lösen vermag(Suche nicht nur nach der Lösung, sondern dem Lösungsvorgang):
1. Wie gross ist für die Zahlenpaare (r,s) welche die Bedingung 2r+3s=5 erfüllen, das Maximum von r*s?
Dazu hab ich schon: ((5-3s)/2)*s="max"
2. 2. Auf den Seiten eines Rechteckes werden (von den Eckpunkten aus)in immer der gleichen Richtung Strecken von x cm abgemessen und ihre Endpunkte verbunden, so dass ein Paralelogramm entsteht. Berechne x so, dass der Flächeninhalt des Paralelogramms minimal wird. Die Rechtecksseiten messen dabei 9 bzw. 5 cm.
Dazu hab ich schon: [mm] 2x^2-14x+45 [/mm] = Flächeninhalt des Paralelogramms
3. Eine 400-m Rennbahn soll so angelegt werden dass sie auseinem Rechteck und zwei Halbkreisen besteht (wie in einem Leichtathletikstadion). Wie gross muss der Kreisradius (r) und die Strecke zwischen den Halbkreisen (s) sein
a) dass das Rechteck möglichst gross ist
b) dass das ganze Oval möglichst gross ist
b) hab ich die Lösung herausgefunden: s=0 und r=200/PI
4. Mit dem Faden der Länge u soll der Umfang eines Kreissektors gebildet werden. Für welchen Radius ist die Sektorfläche maximal? Wie gross ist dann der Zentriwinkel?
Danke viel Mal für eure Hilfe & LG
Starup
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 So 29.05.2005 | | Autor: | starup |
Hallo du, danke vielmal für deine Hilfe! :)
auf diese erste Funktion bin ich auch gekommen, aber was heisst:
- 1. Ableitung und 2. Ableitung bestimmen
- Nullstelle(n) dieser 1. Ableitung ermitteln (notwendiges Kriterium)
- einsetzen in 2. Ableitung und prüfen, ob für Maximum (hinreichendes Kriterium)
als mir die Aufgabe in der schule erklärt wurde (eine ähndliche) fand ich es ganz einfach, doch hier komme ich absolut nicht weiter :(...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 So 29.05.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo starup,
also ich will es auch mal versuchen 
deine fragen sind relativ allgemein:
- Die 1. Ableitung einer Funktion heißt, dass diese Funktion genannt f(x), an
einem beliebigen Wert der Abzisse x die Steigung f'(x) hat.
Steigung heißt, die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt, der ein Elemente der Kurve ist.
Zur Frage nach den Extremwerten, bzw. dem Nullsetzen der Ableitung also
f'(x)=0, ist zusagen, dort wo die Kurve einen absoluten bzw. relativen Extrempunkt ist die Steigung ja Null. Da ja die Tangente dann waagrecht ist.
Schaue dir hierzu nochmal folgen Link an:
![[]](/images/popup.gif) http://mathe-online.at/mathint/diff1/i.html
Das ist sehr ausführlich aber gut
-Wenn man die Ableitungsfunktion Nullsetzt erhält man zwar Extrempunkte, jedoch, weiß man nicht um welche Art von extrempunkten es sich handelt.
Handelt es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt?
Um dies zu ermitteln, setzt man die Nullstelle der 1. Ableitungsfunktion in
die 2. Abletiungsfunktion genannt:
f''(x), und wenn dann die zweite Ableitung größer Null daraus folgt Tiefpunkt
Wenn kleiner Null daraus folgt Hochpunkt:
[mm] f''(x)<0\Rightarrow [/mm] Hochpunkt
[mm] f''(x)>0\Rightarrow [/mm] Tiefpunkt
Das Einsetzen in die 2 Ableitung nennt man hinreichendes Kriterium.
Gruß Mehmet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 So 29.05.2005 | | Autor: | starup |
Danke für dein Hilfeversuch.
Ich habe festgestellt, dass ich dieses Extremrechnen noch garnie in der schule hatte: Ich müsste diese 4 Aufgaben mit quadratischem Ergänzen machen. Das ist schwieriger, oder?
Lieber Gruss
Manolo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo starup!
Diese 3. Aufgabe gab es hier im MatheRaum bereits.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Entweder hier oder hier ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 29.05.2005 | | Autor: | mak |
Hallo,
falls Du noch nicht mit der Differenzialrechnung vertraut bist, gibt es noch eine "einfachere" Lösung für Deine Aufgaben:
Wie Du richtig erkennst führen alle Deine Aufgaben zu Quadratischen Gleichungen!
((5-3s)/2)*s="max" bedeutet ja nichts anderes als:
Max(s) = -3/2 [mm] s^2 [/mm] + 5/2s
Das Schaubild dieser Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Den Scheitel dieser Parabel solltest Du bestimmen können. Dieser Punkt ist dann der höchste, und der passende Wert von s das Maximum!!!
In allen anderen Aufgaben funktioniert das genau gleich!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 29.05.2005 | | Autor: | starup |
Das tönt gut :)
Wie kann ich nochmal den Scheitelpunkt bestimmen, wenn ich [mm] -3/2s^2 [/mm] + 5/2s habe?
[mm] (a(x-u)^2)+v
[/mm]
Wie komme ich auf diese Formel (von der aufgabe aus)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo starup!
> Wie kann ich nochmal den Scheitelpunkt bestimmen, wenn ich
> [mm]-3/2s^2[/mm] + 5/2s habe?
>
> [mm](a(x-u)^2)+v[/mm]
Wenn Du diese Aufgabe nicht mit Differentialrechnung (Ableitungen etc.) lösen möchtest, heißt das Stichwort hier quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelpunktsform dieser Parabel zu kommen:
$p(s) \ = \ [mm] -\bruch{3}{2}*s^2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}s$
[/mm]
$p(s) \ = \ [mm] -\bruch{3}{2}*\left(s^2 - \bruch{5}{3}s\right)$
[/mm]
$p(s) \ = \ [mm] -\bruch{3}{2}*\left[s^2 - \bruch{5}{3}s \ \red{+ \ \left(\bruch{5}{6}\right)^2 \ - \ \left(\bruch{5}{6}\right)^2}\right]$
[/mm]
$p(s) \ = \ [mm] -\bruch{3}{2}*\left[\left(s - \bruch{5}{6}\right)^2 - \left(\bruch{5}{6}\right)^2\right]$
[/mm]
$p(s) \ = \ [mm] -\bruch{3}{2}*\left[\left(s - \bruch{5}{6}\right)^2 - \bruch{25}{36}\right]$
[/mm]
$p(s) \ = \ [mm] -\bruch{3}{2}*\left(s - \bruch{5}{6}\right)^2 [/mm] + [mm] \bruch{25}{24}$
[/mm]
Kannst Du nun den Scheitelpunkt "ablesen" ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 So 29.05.2005 | | Autor: | starup |
Hey, super! Das ist genau das was ich gesucht habe :)....
Kommt man denn immer automatisch auf diese Rechnung [mm] (-3s/2^2)+5s/2)
[/mm]
Klar, der Scheitelpunkt ist: 5/6 / 25/24 (und da ist jetzt das y die Lösung :))..
Super!!
Geht das bei den anderen 3 Aufgaben auch so? Wie?
Danke für die Hilfe!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Damit hast Du doch bereits Deine Zielfunktion ermittelt:
