Maxima und Minima < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Maxima und Minima der Funktion [mm]f: \IR^2 \to \IR, f(x,y) := x^2+12xy +2y^2
[/mm]
auf der Menge [mm]K = \{(x,y) \in \IR^2:4x^2+y^2 \leq 25\}[/mm]. |
Schönen Abend :)
Wie man Maxima und Minima bestimmt weiß ich.
Nur weiß ich nicht, wie ich es mit dieser Nebenbedingung "auf der Menge..." machen soll.
Das heißt x und y kommen jetzt nicht aus der Menge [mm]\IR[/mm], sondern aus der Menge K?
Und die Bedingung ist das: [mm]4x^2+y^2 \leq 25[/mm]
Was ändert sich jetzt an dem normalen Ablauf der Bestimmung von Extrempunkten?
Ich hätte eigentlich den Gradienten von f gbildet und die einzelnen partiellen Ableitung gleich Null gesetzt und dann die möglichen Lösungen für x und y bestimmt. Daraufhin die Hesse-Matrix von f bestimmen und die Lösungen für x und y einsetzten und dann auf Maxima oder Minima schließen.
Was ändert sich jetzt? Und warum?
Dankeschön :)
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> Bestimmen Sie Maxima und Minima der Funktion [mm]f: \IR^2 \to \IR, f(x,y) := x^2+12xy +2y^2
[/mm]
>
> auf der Menge [mm]K = \{(x,y) \in \IR^2:4x^2+y^2 \leq 25\}[/mm].
>
>
>
> Schönen Abend :)
>
> Wie man Maxima und Minima bestimmt weiß ich.
> Nur weiß ich nicht, wie ich es mit dieser Nebenbedingung
> "auf der Menge..." machen soll.
>
> Das heißt x und y kommen jetzt nicht aus der Menge [mm]\IR[/mm],
> sondern aus der Menge K?
Hallo,
ja, genau.
> Und die Bedingung ist das: [mm]4x^2+y^2 \leq 25[/mm]
Ja.
Die Funktion ist nun nicht über [mm] \IR^2, [/mm] sondern über der gegebenen Ellipse zu untersuchen.
>
> Was ändert sich jetzt an dem normalen Ablauf der
> Bestimmung von Extrempunkten?
>
> Ich hätte eigentlich den Gradienten von f gbildet und die
> einzelnen partiellen Ableitung gleich Null gesetzt und dann
> die möglichen Lösungen für x und y bestimmt.
Dann guckst Du mal nach, welche Lösungspaare in der Menge K liegen. Nur diese untersuchst Du weiter mit HesseMatrix.
> Daraufhin
> die Hesse-Matrix von f bestimmen und die Lösungen für x
> und y einsetzten und dann auf Maxima oder Minima
> schließen.
>
> Was ändert sich jetzt?
Du bist noch nicht fertig. Du mußt den Rand von K, also die (x,y) mit [mm] 4x^2+y^2=25, [/mm] auch noch untersuchen.
> Und warum?
Gehen wir mal in meinen Garten. Er ist umzäunt und liegt am Hang eines Berges. Weder der Gipfel des Berges noch die Talsohle sind in meinem Garten. Trotzdem gibt es entlang des Zaunes etliche Punkte, welche höher liegen als die Gartenpunkte in ihrer Umgebung.
Tatsächlich ist sogar das absolute Maximum meines Gartens auf der Gartenzaunline.
Oder denk an Funktionen die auf [mm] \IR [/mm] definiert sind, aber über abgeschlossenen Intervallen zu untersuchen sind. Da schaut man auch immer noch die Ränder des Intervalls an.
Ich gehe davon aus, daß die Lagrange-Methode dran war. Die sollst Du hier üben.
LG Angela
>
> Dankeschön :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Angela und dankeschön für deine tolle Antwort.
> > Und die Bedingung ist das: [mm]4x^2+y^2 \leq 25[/mm]
>
> Ja.
> Die Funktion ist nun nicht über [mm]\IR^2,[/mm] sondern über der
> gegebenen Ellipse zu untersuchen.
Eine Funktion mit zwei Veränderlichern kann ich mir wie einen Teppich vorstellen, oder (also den Funktionsgraphen)?
Und aus diesem Teppich schneide ich dann eine Ellipse aus und diese untersuche ich dann auf Maxima und Minima?
Warum ist das eigentlich eine Ellipse?
Ich habe das jetzt bei WolframAlpha eingegeben und da ist wirklich eine Ellipse zu sehen, aber warum?
Ich suche mir einfach Werte für x und y, setze es in den vorgegeben Term ein, wobei das Ergebnis kleinergleich 25 sein muss und jedes dieser möglichen Paare ist ein Punkt in dem Funktionsgraphen(Teppich) und den zeichne ich ein und am Ende wird wird aus allen Punkten eine Ellipse?
> > Ich hätte eigentlich den Gradienten von f gbildet und die einzelnen partiellen Ableitung gleich Null gesetzt und dann
> > die möglichen Lösungen für x und y bestimmt.
[mm]f_x (x,y) = 2x+12y
[/mm]
[mm]f_y(x,y) = 12x+4y
[/mm]
[mm]2x+12y = 0 \leftrightarrow x = -6y
[/mm]
[mm]12x+4y = 0 \leftrightarrow y = -3x
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=0 \textrm{ und } y=0
[/mm]
> Dann guckst Du mal nach, welche Lösungspaare in der Menge
> K liegen.
(0,0) liegt in der Mege K, da [mm]0 \leq 25[/mm].
> Nur diese untersuchst Du weiter mit HesseMatrix.
[mm]H_f(x) = \pmat{ 2 & 12 \\ 12 & 4 } [/mm]
Ich weiß, dass wenn die Hesse-Matrix positiv definit ist, es ein Minimum ist und wenn negativ dann Maximum.
Aber wie bestimmt man nochmal die Definitheit.
Ich kenne das Hurwitz-Kriterium. Es gilt: Wenn die Determinante einer quadratischen symmetrischen Matrix größer Null ist, dann ist sie positiv definit.
Das ist hier der Fall. Also haben wir im Punkt (0,0) ein Minimum?
Aber wie würde ich auf indefinit und negativ definit kommen?
> Gehen wir mal in meinen Garten...
>....
Vielen Dank für die super Erklärung, jetzt ist mir das auch klar geworden.
> Du bist noch nicht fertig. Du mußt den Rand von K, also
> die (x,y) mit [mm]4x^2+y^2=25,[/mm] auch noch untersuchen.
> Ich gehe davon aus, daß die Lagrange-Methode dran war. Die
> sollst Du hier üben.
Ganz genau, ich lasse das erstmal bis hierhin stehen, um nicht zu viele Fragen auf einmal offen zu lassen, damit ich die Helfer nicht abschrecke.
Ich probiere es schonmal auf meinem Zettel.
Mopsi :)
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Hallo,
Also du willst die Extrema der Funktion f(x,y) = [mm] x^2+12xy+2y^2 [/mm] unter der Bedingung / auf der Menge K = [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}:4x^2+y^2\le25\}[/mm] modellieren.
Gut also deine Vorgehensweise sieht so aus:
du leitest f(x,y) nach x und y ab und setzt die ersten Ableitungen 0, da die Menge ohne den Rand also für strikt < offen ist sind die Extrema Nullstellen der ersten Ableitung.
Du berechnest diese Punkte und schaust ob sie die Bedingung erfüllen in K zu liegen.
Für den Randfall also [mm] 4x^2+y^2 [/mm] = 25 solltest du die Methoden der Lagrange Multiplikatoren heranziehen.
Gut ad Hesse Matrix:
Eine sinnvolle Methode die Definitheit zu bestimmen wäre sicher per Hauptminoren.
Also du betrachtest immer die Determinate der Untermatrizen.
Abhängig vom Signum der Hauptminoren ist dann die Definitheit / auch von der Abfolge der Vorzeichen.
siehe dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Hauptminoren
lg Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hey Thomas :)
Alles klar, ich probiere es nun nochmal von ganz vorne:
Für [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}:4x^2+y^2 < 25\}[/mm] sind Extrema von f Nullstellen der ersten Ableitung.
[mm]f_x (x,y) = 2x+12y
[/mm]
[mm]f_y(x,y) = 12x+4y
[/mm]
[mm]2x+12y = 0 \leftrightarrow x = -6y
[/mm]
[mm]12x+4y = 0 \leftrightarrow y = -3x
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=0 \textrm{ und } y=0
[/mm]
(0,0) liegt in der Mege K, da [mm]0 \leq 25[/mm].
[mm]H_f(x) = \pmat{ 2 & 12 \\ 12 & 4 } [/mm]
Nun über den Ansatz der Hauptminoren:
1.Hauptminor:
det(1) = 1 > 0
2.Hauptminor:
[mm]det \pmat{ 2 & 12 \\ 12 & 4 } = 8 - 12^2 < 0[/mm]
Also positiv definit ist die Matrix nicht, da nicht alle Hauptminoren positiv sind.
Aber negativ definit auch nicht, denn bei Wikipedia steht:"ist genau dann negativ definit, wenn die Vorzeichen der führenden Hauptminoren alternieren, das heißt, falls alle ungeraden führenden Hauptminoren negativ und alle geraden positiv sind."
Hier ist aber der ungerade Hauptminor positiv und der gerade negativ.
Was heißt das jetzt?
indefinit? Kann ich Indefinitheit auch mit den Hauptminoren begründen? Oder gibt es da einen anderen (besseren/einfacheren) Ansatz?
Ich mache nun einfach mal weiter:
Nun muss der Rand [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}:4x^2+y^2 = 25\}[/mm] überprüft werden.
[mm]g(x) = 4x^2+y^2 = 25 \leftrightarrow 4x^2+y^2-25 = 0[/mm]
Ansatz mit Lagrange Multiplikatoren:
[mm]\textrm{grad f(x)} = \lambda * \textrm{grad g(x)}[/mm] mit [mm]\lambda \in \IR[/mm]
[mm]2x+12y = \lambda *8x[/mm]
[mm]12x+4y = \lambda * 2y[/mm]
Aber was mache ich jetzt? Ich habe zwei Gleichungen und 3 Unbekannte...
Könnt Ihr mir bitte einen Tipp geben?
Dankeschön:)
Mopsi
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> Hey Thomas :)
>
> Alles klar, ich probiere es nun nochmal von ganz vorne:
>
> Für [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}:4x^2+y^2 < 25\}[/mm] sind Extrema von f
> Nullstellen der ersten Ableitung.
>
> [mm]f_x (x,y) = 2x+12y
[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y) = 12x+4y
[/mm]
>
> [mm]2x+12y = 0 \leftrightarrow x = -6y
[/mm]
>
> [mm]12x+4y = 0 \leftrightarrow y = -3x
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x=0 \textrm{ und } y=0
[/mm]
>
Gut ich rechne nicht nach aber du kommst zu dem Schluss dass das GLS (0,0)als Lsg, also eine triviale Lösung hat.
Offensichtlich erfüllt dein Punkt die Bedingungen der definierten Menge ja.
Du hast also ein Extremum im Inneren entdeckt und verifizierst nun ob Min, Max oder ggf. Sattelpunkt.
>
> (0,0) liegt in der Mege K, da [mm]0 \leq 25[/mm].
>
> [mm]H_f(x) = \pmat{ 2 & 12 \\ 12 & 4 }[/mm]
>
> Nun über den Ansatz der Hauptminoren:
>
> 1.Hauptminor:
> det(1) = 1 > 0
Woher kommt plötzlich 1 wenn in deiner Matrix doch 2 steht?
Egal ja auf jeden Fall positiv.
>
>
> 2.Hauptminor:
> [mm]det \pmat{ 2 & 12 \\ 12 & 4 } = 8 - 12^2 < 0[/mm]
>
> Also positiv definit ist die Matrix nicht, da nicht alle
> Hauptminoren positiv sind.
> Aber negativ definit auch nicht, denn bei Wikipedia
> steht:"ist genau dann negativ definit, wenn die Vorzeichen
> der führenden Hauptminoren alternieren, das heißt, falls
> alle ungeraden führenden Hauptminoren negativ und alle
> geraden positiv sind."
>
> Hier ist aber der ungerade Hauptminor positiv und der
> gerade negativ.
> Was heißt das jetzt?
> indefinit? Kann ich Indefinitheit auch mit den
> Hauptminoren begründen? Oder gibt es da einen anderen
> (besseren/einfacheren) Ansatz?
>
richtig ja Hauptminor 1 ist positiv. Hauptminor 2 ist negativ.
Und eigentlich kanntest du dieses Kriterium ja schon unter dem Namen "Hurwitz Krit." ;)
So ich würde nun vorschlagen du versuchst es über die Eigenwerte. Falls diese existieren werden sie dir Auskunft über die Definitheit deiner Matrix geben.
>
> Ich mache nun einfach mal weiter:
>
> Nun muss der Rand [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}:4x^2+y^2 = 25\}[/mm]
> überprüft werden.
>
> [mm]g(x) = 4x^2+y^2 = 25 \leftrightarrow 4x^2+y^2-25 = 0[/mm]
g(x,y)....!!!!! Fkt ist 2 dimensional...
>
> Ansatz mit Lagrange Multiplikatoren:
>
> [mm]\textrm{grad f(x)} = \lambda * \textrm{grad g(x)}[/mm] mit
> [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> [mm]2x+12y = \lambda *8x[/mm]
>
> [mm]12x+4y = \lambda * 2y[/mm]
>
> Aber was mache ich jetzt? Ich habe zwei Gleichungen und 3
> Unbekannte...
> Könnt Ihr mir bitte einen Tipp geben?
>
> Dankeschön:)
>
> Mopsi
Ja also hier verwendest du nun die Lagrange Multiplikatoren - wobei du vergessen hast zu überprüfen ob du diese überhaupt anwenden darfst. zu zeigen wäre
wenn nun NB 1: g(x,y) = [mm] 4x^2+y^2-25= [/mm] 0 ist, dass [mm]\frac{dg}{dx},\frac{dg}{dy}[/mm] nicht Rang 0 hat.
Offensichtlich gilt das aber und du kannst Lagrange Mult. verwenden.
Es müssten auch noch andere Punkte gelten aber informiere dich am besten selbst was gelten muss damit man mit Lagrange Mult. arbeiten darf/kann.
Du hast oben das ganze etwas falsch angeschrieben. Ich führe es dir vor.
g(x,y) = [mm] 4x^2+y^2-25 [/mm] = 0
Die Matrix der partiellen Ableitungen 1. Ordnung hat rg [mm] \neq [/mm] 0 und damit existieren keine Ausnahmestellen.
[mm] \Phi(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] x^2+12xy+2y^2 [/mm] + [mm] \lambda*(4x^2+y^2-25)
[/mm]
bilden der Ableitungen nach [mm] x,y,\lambda [/mm] liefert
[mm] \frac{d\Phi}{dx} = 2x+12y+8\lambda x[/mm] = 0
[mm] \frac{d\Phi}{dy} = 12x+4y+2*\lambda*y[/mm] = 0
[mm] \frac{d\Phi}{d\lambda} = 4x^2+y^2-25[/mm] = 0
So das sind nun 3 Gleichungen mit 3 Variablen wobei du die ersten 2 heranziehst.
Ausdrücken nach [mm] \lambda [/mm] und Gleichsetzen liefert.
[mm]\frac{-2x-12y}{8x} = \frac{-12x-4y}{2y}[/mm]
nun drücke einer Variable aus und Löse durch einsetzen.
Das GLS ist eindeutig lösbar und du wirst einen Kandidaten für Min/MAx kriegen.
Lg Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hey und vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort :)
> > 1.Hauptminor:
> > det(1) = 1 > 0
>
> Woher kommt plötzlich 1 wenn in deiner Matrix doch 2
> steht?
Tut mir Leid, da hatte ich wohl noch die Matrix aus einem Beispiel im Kopf :-P
> richtig ja Hauptminor 1 ist positiv. Hauptminor 2 ist
> negativ.
> Und eigentlich kanntest du dieses Kriterium ja schon unter
> dem Namen "Hurwitz Krit." ;)
Genau, aber nur dank dir weiß ich jetzt was das mit den Hauptminoren zu tun hat, danke :)
> So ich würde nun vorschlagen du versuchst es über die
> Eigenwerte. Falls diese existieren werden sie dir Auskunft
> über die Definitheit deiner Matrix geben.
Gibt es nicht noch ein Kriterium mit dem aus det(A) < 0 auf etwas schließen kann? :-P
Naja ich habe mal die Eigenwerte bestimmt:
[mm]E_1 = 3 + \sqrt{145}[/mm]
[mm]E_2 = 3 - \sqrt{145}[/mm]
Das heißt ein Eigenwert ist negativ und der andere positiv, demnach kann ich sagen, dass die Hesse-Matrix indefinit ist. Das heißt unabhängig von welchen Punkt, (weil in der Hesse-Matrix ja keine Variablen mehr stehen) es gibt kein Extremum im Inneren.
> Ja also hier verwendest du nun die Lagrange Multiplikatoren
> - wobei du vergessen hast zu überprüfen ob du diese
> überhaupt anwenden darfst. zu zeigen wäre
>
> wenn nun NB 1: g(x,y) = [mm]4x^2+y^2-25=[/mm] 0 ist, dass
> [mm]\frac{dg}{dx},\frac{dg}{dy}[/mm] nicht Rang 0 hat.
> Offensichtlich gilt das aber und du kannst Lagrange Mult.
> verwenden.
>
> Es müssten auch noch andere Punkte gelten aber informiere
> dich am besten selbst was gelten muss damit man mit
> Lagrange Mult. arbeiten darf/kann.
Wo kann ich diese Nebenbedingungen nachlesen?
Bei uns steht im Skript nur das dazu:
Satz (Extrema unter Nebenbedingungen).
Sei U ⊆ [mm] R^n [/mm] offen, g : U → [mm] R^k [/mm] stetig differenzierbar, M = {x ∈ U : g(x) = 0}
und a = [mm] (a_1 [/mm] , . . . , [mm] a_n [/mm] ) ∈ M ein Punkt mit Rang(g'(a)) = k (also maximal). Ferner sei f : U → R
eine stetig differenzierbare Funktion, die in a ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung
g(x) = 0 einnimmt.
(Das heißt, es gibt eine Umgebung U von a derart, dass entweder f (a) ≤ f (x) ∀x ∈ M ∩ U oder
f (a) ≥ f (x) ∀x ∈ M ∩ U .)
Dann existiert λ = (λ_1 , . . . , λ_k ) (die λ_k heißen Lagrangesche Multiplikatoren) so, dass
grad f'(a) = λ g'(a).
Mehr steht dazu nicht. Also was müsste denn demnach gelten, damit ich sie verwenden kann? Das steht zwar auch etwas von Rang, aber das hat nicht mit dem Rang von dem du geschrieben hast zu tun, oder?
> [mm]\Phi(x,y,\lambda)[/mm] = [mm]x^2+12xy+2y^2[/mm] + [mm]\lambda*(4x^2+y^2-25)[/mm]
Ist das die Lagrange-Gleichung erster Art (Habe ich mal irgendwo gelesen)? Oder wie kommt man jetzt auf diese Funktion? Die hatten wir jedenfalls nicht in der Vorlesung.
> Ausdrücken nach [mm]\lambda[/mm] und Gleichsetzen liefert.
>
> [mm]\frac{-2x-12y}{8x} = \frac{-12x-4y}{2y}[/mm]
Hmm, irgendwie kriege ich das leider nicht hin :-(
Ich habe erstmal 8x und 2y auf die andere Seite gebracht und dann gekürzt.
Ich erhalte:
[mm]24x^2+7xy = 6y^2[/mm]
Wie soll ich hier nun etwas nach x umstellen?
Ich kann zwar das machen:
[mm]x = \frac{ 24x^2-6y^2}{7y}[/mm]
Aber das hilft mir nun auch nicht weiter.. :-/
Ein Tipp/Ratschlag?
Mopsi
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> Hey und vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort
> :)
>
> > > 1.Hauptminor:
> > > det(1) = 1 > 0
> >
> > Woher kommt plötzlich 1 wenn in deiner Matrix doch 2
> > steht?
>
> Tut mir Leid, da hatte ich wohl noch die Matrix aus einem
> Beispiel im Kopf :-P
>
> > richtig ja Hauptminor 1 ist positiv. Hauptminor 2 ist
> > negativ.
> > Und eigentlich kanntest du dieses Kriterium ja schon
> unter
> > dem Namen "Hurwitz Krit." ;)
>
> Genau, aber nur dank dir weiß ich jetzt was das mit den
> Hauptminoren zu tun hat, danke :)
>
> > So ich würde nun vorschlagen du versuchst es über die
> > Eigenwerte. Falls diese existieren werden sie dir
> Auskunft
> > über die Definitheit deiner Matrix geben.
>
> Gibt es nicht noch ein Kriterium mit dem aus det(A) < 0 auf
> etwas schließen kann? :-P
>
> Naja ich habe mal die Eigenwerte bestimmt:
>
> [mm]E_1 = 3 + \sqrt{145}[/mm]
>
> [mm]E_2 = 3 - \sqrt{145}[/mm]
>
> Das heißt ein Eigenwert ist negativ und der andere
> positiv, demnach kann ich sagen, dass die Hesse-Matrix
> indefinit ist. Das heißt unabhängig von welchen Punkt,
> (weil in der Hesse-Matrix ja keine Variablen mehr stehen)
> es gibt kein Extremum im Inneren.
>
>
> > Ja also hier verwendest du nun die Lagrange
> Multiplikatoren
> > - wobei du vergessen hast zu überprüfen ob du diese
> > überhaupt anwenden darfst. zu zeigen wäre
> >
> > wenn nun NB 1: g(x,y) = [mm]4x^2+y^2-25=[/mm] 0 ist, dass
> > [mm]\frac{dg}{dx},\frac{dg}{dy}[/mm] nicht Rang 0 hat.
> > Offensichtlich gilt das aber und du kannst Lagrange
> Mult.
> > verwenden.
> >
> > Es müssten auch noch andere Punkte gelten aber
> informiere
> > dich am besten selbst was gelten muss damit man mit
> > Lagrange Mult. arbeiten darf/kann.
>
> Wo kann ich diese Nebenbedingungen nachlesen?
> Bei uns steht im Skript nur das dazu:
>
> Satz (Extrema unter Nebenbedingungen).
> Sei U ⊆ [mm]R^n[/mm] offen, g : U → [mm]R^k[/mm] stetig differenzierbar,
> M = {x ∈ U : g(x) = 0}
> und a = [mm](a_1[/mm] , . . . , [mm]a_n[/mm] ) ∈ M ein Punkt mit
> Rang(g'(a)) = k (also maximal). Ferner sei f : U → R
> eine stetig differenzierbare Funktion, die in a ein
> lokales Extremum unter der Nebenbedingung
> g(x) = 0 einnimmt.
> (Das heißt, es gibt eine Umgebung U von a derart, dass
> entweder f (a) ≤ f (x) ∀x ∈ M ∩ U oder
> f (a) ≥ f (x) ∀x ∈ M ∩ U .)
> Dann existiert λ = (λ_1 , . . . , λ_k ) (die λ_k
> heißen Lagrangesche Multiplikatoren) so, dass
> grad f'(a) = λ g'(a).
>
> Mehr steht dazu nicht. Also was müsste denn demnach
> gelten, damit ich sie verwenden kann? Das steht zwar auch
> etwas von Rang, aber das hat nicht mit dem Rang von dem du
> geschrieben hast zu tun, oder?
Das bedeutet nur dass Diffbarkeit in allen Variablen vorliegen muss der Rang entspricht jetzt nicht so ganz dem was du unter Rang verstehst aber bei höher dim. Funktionen entstehen dann sehrwohl "Ableitungsmatrizen" . Würde es 0 sein so könnten eventuell "Ausnahmestellen" , welche man dann untersuchen müssen / falls man sie feststellt.
>
>
> > [mm]\Phi(x,y,\lambda)[/mm] = [mm]x^2+12xy+2y^2[/mm] + [mm]\lambda*(4x^2+y^2-25)[/mm]
>
> Ist das die Lagrange-Gleichung erster Art (Habe ich mal
> irgendwo gelesen)? Oder wie kommt man jetzt auf diese
> Funktion? Die hatten wir jedenfalls nicht in der
> Vorlesung.
>
>
> > Ausdrücken nach [mm]\lambda[/mm] und Gleichsetzen liefert.
> >
> > [mm]\frac{-2x-12y}{8x} = \frac{-12x-4y}{2y}[/mm]
>
> Hmm, irgendwie kriege ich das leider nicht hin :-(
>
> Ich habe erstmal 8x und 2y auf die andere Seite gebracht
> und dann gekürzt.
>
> Ich erhalte:
>
> [mm]24x^2+7xy = 6y^2[/mm]
>
> Wie soll ich hier nun etwas nach x umstellen?
>
> Ich kann zwar das machen:
>
> [mm]x = \frac{ 24x^2-6y^2}{7y}[/mm]
>
> Aber das hilft mir nun auch nicht weiter.. :-/
>
> Ein Tipp/Ratschlag?
>
> Mopsi
Tipp es doch einfach mal in ein Mathematik Programm. GLS zu lösen ist nicht schwer es kann nur mühsam sein;)
Lg
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:14 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
> > Mehr steht dazu nicht. Also was müsste denn demnach
> > gelten, damit ich die Lagrange-Multiplikatoren verwenden kann?
>
> Das bedeutet nur dass Diffbarkeit in allen Variablen
> vorliegen muss
Wann liegt das nochmal vor? Ich habe Angst einfach vorher zuschreiben, es liegt Diffbarkeit in allen Variablen vor, ohne zu wissen warum überhaupt :-P
> > > Ausdrücken nach [mm]\lambda[/mm] und Gleichsetzen liefert.
> > >
> > > [mm]\frac{-2x-12y}{8x} = \frac{-12x-4y}{2y}[/mm]
> >
> > Hmm, irgendwie kriege ich das leider nicht hin :-(
> >
> > Ich habe erstmal 8x und 2y auf die andere Seite gebracht
> > und dann gekürzt.
> >
> > Ich erhalte:
> >
> > [mm]24x^2+7xy = 6y^2[/mm]
> Tipp es doch einfach mal in ein Mathematik Programm. GLS zu
> lösen ist nicht schwer es kann nur mühsam sein;)
:-D Aber was ist wenn ich in der Klausur sitze und nichtmal einen Taschenrechner benutzen darf? 
Kann ich hier etwas substituieren? Oder vielleicht die PQ-Formel anwenden?
//Edit:
Ich habe im Internet diese Substitution gefunden [mm]t = \frac{y}{x}[/mm]
//
Wie man darauf kommt weiß ich leider nicht, habt ihr einen anderen Ansatz für das Problem?
Ich komme dann auf vier Punkte:
[mm] \pm ( \frac{3}{2},4)[/mm] und [mm] \pm ( 2,-3)[/mm]
Aber was mache ich jetzt?
Und ich frage mich gerade, warum ich das überhaupt noch mache, denn ich habe doch festgestellt, dass die Hesse-Matrix indefinit ist. Und die Hesse-Matrix hängt auch nicht von x oder y ab und somit ist es doch egal welchen Punkt ich betrachte, es gibt kein Extrema?
Oder sehe ich da etwas falsch?
Mopsi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo nochmal.
Da ich morgen schon eine Klausur über das Thema schreibe, frage ich lieber nur das, was ich wirklich gar nicht kann.
Das heißt die obige Fragen, kann als beantwortet gesehen werden und meine einzige Frage ist diese:
Ich komme nun also mithilfe der Lagrange-Multiplikatoren auf folgende vier kritische Punkte:
[mm]\pm ( \frac{3}{2},4)[/mm] und [mm]\pm ( 2,-3)[/mm]
Aber was mache ich jetzt?
Muss ich mit der Hesse-Matrix überprüfen, ob diese nun Maxima oder Minima sind?
Aber ich habe doch schon festgestellt, dass die Hesse-Matrix indefinit ist und auch nicht von x oder y abhängt, also egal welchen Punkt ich betrachte es kann kein Maxima oder Minima geben? Oder ist das hier ein Sonderfall?
Ich hoffe, dass ihr mir diese Frage beantworten könnt.
Mopsi
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Hallo,
also wie Fred schon beantwortet hat hast du im Punkt (0,0) doch kein Extremum gefunden.
Generell ja du überprüfst Extrema zur Entscheidung zwischen Min/Max zumeinst mit der Hesse Matrix - eigentlich müsstest du natürlich noch über die Art also lokal oder global AUskunft geben.
Nein du hast keinen "Sonderfall" die Hesse Matrix besteht da die Ordnung der Funktion 2 war natürlich nur mehr aus "Zahlen" nach 2mal ableiten - insofern klar du kannst keine Punkte einsetzen.
Die 4 Punkte die du bestimmt hast liegen nun ja am "Rand" - überlege dir doch mal wie die Funktion aussieht.
Bzw. müsste doch in deinem Skript zu finden sein wie du überprüfst ob es sich um Min, MAx handelt.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Also ich hätte es einfach so gemacht, dass ich die Punkte in f einsetze und dann sagen kann, dass der kleinere Wert Minimum und der größere Maximum ist.
Das habe ich nun auch gemacht und bin zu einem Ergebnis gekommen.
Eine Frage habe ich noch zu dem Punkt (0,0).
Wir beide hatten es ja mit den Eigenwerten der Hesse-Matrix bewiesen, dass in (0,0) kein Extrema (da indefinit) vorliegt, oder?
Den Ansatz von FRED habe ich aber noch nicht verstanden.
Wieso schaut er sich da f(x,x) und f(x,-x) an?
Meine Vermutung: für x=0 und y=0, also x=y gilt f(x,x) = f(x,-x) ?
Und das Fazit habe ich auch nicht verstanden:
"Fazit: f nimmt in jeder Umgebung von (0,0) sowohl Funktionswert > f(0,0) als auch Funktionswerte < f(0,0) an."
Wie kann das sein? Es kann doch nur entweder oder geben.
Mopsi
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Funktionswerte an gewissen Stellen zu betrachten ist teilweise eine Möglichkeit um Min/Max zu bestimmen aber damit würde ich vorsichtig umgehen.
Was Fred versucht hat dir zu zeigen ist dass f Nahe an (0,0) also in Umgebungen von (0,0) Werte positiver und negativer Natur annimmt.
Eine Bedingung für einen Sattelpunkt wäre dass die Anstiege in naher Umgebung des Punktes <0 und >0 sind.
So und nun lies mal nach wenn die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen haben welchen Punkt du dann vorliegen hast :) Einen Sattelpunkt.
Lg Thomas
Ps: Ein Sattelpunkt wird nicht als Extrempunkt bezeichnet - vergiss das nicht für deine Klausur
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Funktionswerte an gewissen Stellen zu betrachten ist
> teilweise eine Möglichkeit um Min/Max zu bestimmen aber
> damit würde ich vorsichtig umgehen.
>
>
> Was Fred versucht hat dir zu zeigen ist dass f Nahe an
> (0,0) also in Umgebungen von (0,0) Werte positiver und
> negativer Natur annimmt.
Achsooooo! :) Ich habe mir das eben auch nochmal gezeichnet und dann sieht man auch das es kein Extrempunkt sein kann.
Du schreibst selber, dass man damit vorsichtig umgehen sollte. Soll ich es also so machen, wie wir beide es bei (0,0) gemacht haben? Also mit Hesse-Matrix und auf Definitheit untersuchen?
(Obwohl Freds-Methode viel schneller ist, oder..)
> Ps: Ein Sattelpunkt wird nicht als Extrempunkt bezeichnet -
> vergiss das nicht für deine Klausur
Okay 
Mopsi
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Freds Methode ist schneller und diese Funktion ist auch sehr einfach - wenn du ggf. komplexere Funktionen betrachtest sieht man das natürlich oft schwer(ER PRÜFT ABER NICHT AUF MIN/MAX sondern zeigt dir nur dass KEIN EXTREMUM in (0,0) vorliegt - also wäre Extremum zb: P(1/1) würde dir das Einsetzen des Punktes keine AUskunft über die Art der Extremstelle geben).
Die Argumentation : Anstieg in Umgebung des Punktes kleiner 0 und größer 0 ist allerdings zum Verifizieren ob Sattelpunkt oder nicht sehrwohl gut. Obwohl du es natürlich auch etwas ausführen musst so wie Fred vorgezeigt hat.
Conclusio:
Menge auf der Extrema untersucht werden sollen klassifizieren:
ist die Menge offen, abg, kompakt.
Auf offener Menge sind die Extrema Nullstellen der ersten Abl. Bei abgeschlossener müssen Randpunkte extra betrachtet werden. Bei Randpunkten kannst du eventuell einsetzen um einen Funktionswert zu ermitteln.
Lagrange Multiplik. anwenden bei Nebenbedingungen der Form ...... = , bei [mm] \le [/mm] etc. getrennt Betrachten also wieder für den offenen Fall < und den Randfall = (hier mit Lagrange).
Zum feststellen ob Min/Max die Hessematrix also die Matrix der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung heranziehen.
Definitheit bestimmen per Hauptminoren oder Eigenwerte.
Pos definit = Minimum
Neg definit = Maximum.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Conclusio:
>
> Menge auf der Extrema untersucht werden sollen
> klassifizieren:
> ist die Menge offen, abg, kompakt.
>
> Auf offener Menge sind die Extrema Nullstellen der ersten
> Abl. Bei abgeschlossener müssen Randpunkte extra
> betrachtet werden.
Wenn die Hesse-Matrix an den Randpunkten nicht indefinit ist, dann liegt automatisch ein Extrema vor, oder? Also zumindest ein lokales.
> Bei Randpunkten kannst du eventuell
> einsetzen um einen Funktionswert zu ermitteln.
Also ich könnte zum Beispiel bei dieser Randbedingung, dass [mm] 4x^2+y^2 [/mm] = 25, einfach nach y umstellen und dann in f einsetzen. Aber bei drei veränderlichen, wird das bestimmt nicht so einfach.
> Lagrange Multiplik. anwenden bei Nebenbedingungen der Form
> ...... = , bei [mm]\le[/mm] etc. getrennt Betrachten also wieder
> für den offenen Fall < und den Randfall = (hier mit
> Lagrange).
Ist das eine legitime Begründung:
Wenn ich nun Punkte mit den Lagrange-Multiplikatoren gefunden habe, dann sind diese Extrema, da die Menge kompakt ist und daher f Extrema in K annehmen muss (Das ist glaube ich ein Satz)?
Oder was ist die Begründung dafür?
Ein ganz großes liebes Dankeschön an dich Thomas für diese tolle Antwort! :)
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> > Conclusio:
> >
> > Menge auf der Extrema untersucht werden sollen
> > klassifizieren:
> > ist die Menge offen, abg, kompakt.
> >
> > Auf offener Menge sind die Extrema Nullstellen der
> ersten
> > Abl. Bei abgeschlossener müssen Randpunkte extra
> > betrachtet werden.
>
> Wenn die Hesse-Matrix an den Randpunkten nicht indefinit
> ist, dann liegt automatisch ein Extrema vor, oder? Also
> zumindest ein lokales.
>
> > Bei Randpunkten kannst du eventuell
> > einsetzen um einen Funktionswert zu ermitteln.
>
> Also ich könnte zum Beispiel bei dieser Randbedingung,
> dass [mm]4x^2+y^2[/mm] = 25, einfach nach y umstellen und dann in f
> einsetzen. Aber bei drei veränderlichen, wird das bestimmt
> nicht so einfach.
Würde ich nicht tun.
>
> > Lagrange Multiplik. anwenden bei Nebenbedingungen der Form
> > ...... = , bei [mm]\le[/mm] etc. getrennt Betrachten also wieder
> > für den offenen Fall < und den Randfall = (hier mit
> > Lagrange).
>
> Ist das eine legitime Begründung:
> Wenn ich nun Punkte mit den Lagrange-Multiplikatoren
> gefunden habe, dann sind diese Extrema, da die Menge
> kompakt ist und daher f Extrema in K annehmen muss (Das ist
> glaube ich ein Satz)?
Also jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge besitzt ein Minimum und ein Maximum. Ja das ist ein Satz sogar ein ziemlich berühmter ;) Der Satz von Weierstraß.
Das hat aber nichts mit dem Auffinden und der Klassifizierung deiner Extrema zu tun. Wenn du weißt dass eine Menge kompakt ist und eine Funktion darauf stetig dann gibt es ein Min und ein Max. Dennoch musst du diese finden und dazu bedienst du dich den Methoden der Differentialrechnung.
Anmerkung: WEnn du Lagrange Multiplikatoren verwendest dann erhältst du mögliche Extremstellen deiner Funktion (nennen wir sie f) unter der Nebenbedingung sei diese g(x) = 0.
Des Weiteren würden noch mögliche Extremstellen hinzukommen an welchen nicht alle Voraussetzungen erfüllt sind also zb Randpunkte , oder Stellen an denen g nicht diffbar ist oder an denen f nicht diffbar ist. (Habe ich in meiner ersten Antwort als Ausnahmestellen bezeichnet.)
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> Oder was ist die Begründung dafür?
>
> Ein ganz großes liebes Dankeschön an dich Thomas für
> diese tolle Antwort! :)
Lg
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Okay, danke Thomas :)
Ich habe mich jetzt selber an einer Aufgabe versucht:
https://matheraum.de/read?i=972040
Danke nochmal an alle Helfer! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 So 16.06.2013 | | Autor: | fred97 |
f(x,y) := [mm] x^2+12xy +2y^2 [/mm] hat in (0,0) kein Extremum. Das sieht man so:
Es ist f(x,x) = [mm] 15x^2 [/mm] und [mm] f(x,-x)=-9x^2
[/mm]
Weiter: f(0,0)=0.
Fazit: f nimmt in jeder Umgebung von (0,0) sowohl Funktionswert > f(0,0) als auch Funktionswerte < f(0,0) an.
FRED
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