Maximierung von Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 11.10.2007 | | Autor: | cp3de |
Hallo zusammen,
ich habe die Idee den Erwartungswert von beliebigen Zufallsexperimenten / Glücksspielen über den Einsatz zu maximieren. Dazu habe ich zunächst
ein Spiel über 2 Runden betrachtet. Für den Erwartungswert gilt demnach
[mm] E(X)=p^2*(e_{} [/mm] + [mm] e_{1}) [/mm] + [mm] p*(1-p)*(e_{} [/mm] - [mm] e_{1} [/mm] - [mm] e_{} [/mm] + [mm] e_{0}) [/mm] + (1 - [mm] p)^2*(- e_{} [/mm] - [mm] e_{0})
[/mm]
[mm] p_{} [/mm] Gewinnwahrscheinlichkeit
[mm] e_{} [/mm] Einsatz der ersten Runde
[mm] e_{1} [/mm] Einsatz der zweiten Runde nach Gewinn in der ersten Runde
[mm] e_{0} [/mm] Einsatz der zweiten Runde nach Verlust in der ersten Runde
Nach Umformung ergibt sich:
E(X) = [mm] (2p_{} [/mm] - [mm] 1)*e_{} [/mm] + [mm] (2p^2 [/mm] - [mm] p)*e_{1} [/mm] + [mm] (-2p^2 [/mm] + [mm] 3p_{} [/mm] - [mm] 1)*e_{0}
[/mm]
Für [mm] p_{} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist der mittlere Term immer größer als die beiden anderen.
In der Praxis bedeutet das demnach:
In der ersten Runde nur wenig oder nichts setzen. Nach Gewinn, in der zweiten Runde viel setzen. Der Erwartungswert ist zwar immer noch negativ, aber hat sich stark verbessert.
Das Ergebnis kann aber logischerweise nicht richtig sein, da sich an den Wahrscheinlichkeiten nichts geändert hat. Wo liegt bitte mein Denkfehler?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Do 11.10.2007 | | Autor: | Blech |
> In der Praxis bedeutet das demnach:
Ich hab mir die Rechnung nicht wirklich angeschaut, aber mal rein logisch betrachtet:
1. Wäre der EW nicht maximal für [mm] e=e_0=e_1=0?
[/mm]
Edit: Also was ich hier meine, ist: Du betrachtest kein Gesamtkapital, sondern 3 beliebige Werte, wie kommst Du dann zu Deinen Werten?
2.
> In der ersten Runde nur wenig oder nichts setzen. Nach
> Gewinn, in der zweiten Runde viel setzen. Der
> Erwartungswert ist zwar immer noch negativ, aber hat sich
> stark verbessert.
Setzt Du hier nicht implizit voraus, daß Du die erste Runde gewinnst?
D.h. der Erwartungswert ist höher, wenn Du die erste Runde gewinnst, als wenn Du sie verlierst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 11.10.2007 | | Autor: | cp3de |
Erstmal vielen Dank für die Antwort.
> 1. Wäre der EW nicht maximal für [mm]e=e_0=e_1=0?[/mm]
> Edit: Also was ich hier meine, ist: Du betrachtest kein
> Gesamtkapital, sondern 3 beliebige Werte, wie kommst Du
> dann zu Deinen Werten?
Für [mm]e=e_0=e_1=0[/mm] wird der Erwartungswert tatsächlich maximal - ich hätte noch hinzufügen müssen, dass auf jeden Fall gespielt werden soll.
> 2.
> Setzt Du hier nicht implizit voraus, daß Du die erste Runde
> gewinnst?
> D.h. der Erwartungswert ist höher, wenn Du die erste Runde
> gewinnst, als wenn Du sie verlierst?
Ein Einsatz in der zweiten Runde soll nur erfolgen, falls die erste gewonnen wurde. Dabei sind die Einsätze laut Formel völlig unabhängig voneinander. Außerdem spricht meiner Meinung nach nichts dagegen e = 0 zu setzen und die erste Runde quasi als Zuschauer zu durchlaufen.
Trotz gleicher Wahrscheinlichkeiten scheint der Erwartungswert besser zu werden, was irgendwie nicht schlüssig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 11.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Erstmal vielen Dank für die Antwort.
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> > 1. Wäre der EW nicht maximal für [mm]e=e_0=e_1=0?[/mm]
> > Edit: Also was ich hier meine, ist: Du betrachtest kein
> > Gesamtkapital, sondern 3 beliebige Werte, wie kommst Du
> > dann zu Deinen Werten?
>
> Für [mm]e=e_0=e_1=0[/mm] wird der Erwartungswert tatsächlich maximal
> - ich hätte noch hinzufügen müssen, dass auf jeden Fall
> gespielt werden soll.
Ja, aber das Problem, das ich sehe ist ja gerade, daß die 3 völlig unabhängig sind.
Also, wir sind vor dem ersten Spiel. Du kannst jetzt nach belieben e, [mm] e_0 [/mm] und [mm] e_1 [/mm] festlegen.
Du verlierst e, wenn Du das erste Spiel verlierst (Wkeit >1/2); Du verlierst [mm] e_1 [/mm] aber nur, wenn Du das erste Spiel gewinnst (nicht sehr wahrscheinlich), und dann das zweite verlierst (Gesamtwkeit nicht sehr hoch). Wenn Du das erste und zweite gewinnst (sehr unwahrscheinlich) machst Du sogar einen Gewinn, wenn Du das erste verlierst (recht wahrscheinlich) machst Du durch hochsetzen von [mm] e_1 [/mm] keinen Verlust (taucht ja gar nicht auf).
D.h. Du setzt e und [mm] e_0 [/mm] auf 0, und [mm] e_1 [/mm] auf 1000. Die drei möglichen Ergebnisse sind dann [mm] e_1, -e_1 [/mm] und 0 (d.h. Du hast das erste verloren)
[mm] $P(e_1)=p^2;\ P(-e_1)=pq;\ [/mm] P(0)=q$
Hohes [mm] e_1 [/mm] ist nicht ein guter Deal, wenn Du Deinen Einsatz *nach* dem ersten Spiel (angenommen Du hättest es gewonnen) festsetzt. Nach dem ersten Spiel gilt
[mm] $P(e_1|1.gewonnen)=p;\ P(-e_1|1.gewonnen)=q$
[/mm]
Es ist nur *vor* dem ersten Spiel ein guter Deal, weil es sehr unwahrscheinlich ist, daß Du um [mm] e_1 [/mm] überhaupt spielen wirst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Fr 12.10.2007 | | Autor: | cp3de |
Stimmt, jetzt ist alles klar. Danke!
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> Nach Umformung ergibt sich:
> E(X) = [mm](2p_{}[/mm] - [mm]1)*e_{}[/mm] + [mm](2p^2[/mm] - [mm]p)*e_{1}[/mm] + [mm](-2p^2[/mm] +
> [mm]3p_{}[/mm] - [mm]1)*e_{0}[/mm]
>
Vereinfachung:
E(X) = (2p - 1)* ( e + [mm] p*e_{1} [/mm] + (1 - [mm] p)*e_{0} [/mm] ) oder
E(X) = (p -1 + p)* ( e + [mm] p*e_{1} [/mm] + [mm] q*e_{0} [/mm] ) oder
E(X) = (p - q)* ( e + [mm] p*e_{1} [/mm] + [mm] q*e_{0} [/mm] )
Nun sieht man sofort: Ist p=1/2, so ist E(X) = 0.
Ist p < 1/2, so ist immer E(X)<0, da die erste Klammer immer negativ, die zweite immer positiv ist. Da nun aber jeder Summand in der zweiten Klammer positiv oder 0 ist, führt jeder Einsatz e, [mm] e_1 [/mm] oder [mm] e_0, [/mm] der positiv ist, zu einem weiteren Verlust.
Man erkennt sogar den exakten Zusammenhang:
Hintere Klammer: e wird immer gesetzt (Wahrscheinlichkeit 1), dann [mm] e_1 [/mm] nach einem Gewinn (Wahrscheinlichkeit p) und [mm] e_0 [/mm] nach einem Verlust (Wahrscheinlichkeit q). Die hintere Klammer enthält also den gesamten durchschnittlichen Einsatz eines Doppelspiels.
Vordere Klammer: Dieser wird mit der W. p gewonnen und q verloren, muss also mit p - q multipliziert werden.
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