Maximum auf der Einheitsscheib < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Fr 09.09.2022 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Maximum und Minimum von $| [mm] e^{z^2+2z}|$ [/mm] auf [mm] $\overline{ \mathbb E}$. [/mm] |
Ich habe leider keinerlei Ansatz bzw. Idee, wie ich das machen soll.
Soll ich den Satz vom Maximums-Prinzip anwenden oder hat das irgendwas mit der Möbius-transfromation zu tun, ich habe wirklich keinerlei Ansatz..:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Fr 09.09.2022 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Maximum und Minimum von [mm]| e^{z^2+2z}|[/mm] auf
> [mm]\overline{ \mathbb E}[/mm].
> Ich habe leider keinerlei Ansatz
> bzw. Idee, wie ich das machen soll.
> Soll ich den Satz vom Maximums-Prinzip anwenden oder hat
> das irgendwas mit der Möbius-transfromation zu tun, ich
> habe wirklich keinerlei Ansatz..:/
Die Aufgabe stinkt geradezu nach Maximumprinzip.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Sa 10.09.2022 | | Autor: | nkln |
Hi Fred,
also ich habe jetzt raus
[mm] $|e^{z^2+2z}| [/mm] $hat ein Minimum bei $z= -1$. Sprich auf dem Rand.
Dazu habe ich 1.Fall [mm] $f(z)=e^{z^2+2z}$ [/mm] und 2.Fall [mm] $g(z)=-e^{z^2+2z}$ [/mm] betrachtet.
1.Fall [mm] $f(z)=e^{z^2+2z}$
[/mm]
[mm] $f'(z)=(2z+2)\cdot{}e^{z^2+2z} [/mm] =0$, da [mm] $e^{z^2+2z}>0$ [/mm] , muss $(2z+2)=0 $sein, also $z=-1$ . Nun ist $f''(z)= [mm] e^{z^2+2z}((2z+2)^2+2)$ [/mm] und mit $z=-1$ ist [mm] $f''(-1)=\frac{2}{e}>0$ [/mm] ein lokales Minimum.
2.Fall [mm] $g(z)=-e^{z^2+2z}$
[/mm]
[mm] $g'(z)=-(2z+2)\cdot{}e^{z^2+2z} [/mm] =0, da [mm] e^{z^2+2z}>0$ [/mm] , muss $-(2z+2)=0$ sein, also $z=-1$ . Also ist $g''(z)= [mm] e^{z^2+2z}(-(2z+2)^2-2)$ [/mm] und mit $z=-1$ ist [mm] $g''(-1)=-\frac{2}{e}<0$ [/mm] ein lokales Maximum.
Der Satz von Max.-Min prinzip sagt ja, wenn $|f|$ innerhalb eines Gebietes ein lokales Min oder Max annimmt, dann ist $f$ konstant.
Aber $z=-1$ ist ja auf dem Rand. Hätte ich mir die obige Rechnung sparen können und einfach sagen können
[mm] $\overline{\mathbb E}$ [/mm] ist der Abgeschlossene Einheitskreis, sprich das Innere des Kreises plus Rand und f kann stetig fortgesetzt werden auf dem Rand, da [mm] $f(z)=e^{z^2+2z}$ [/mm] holomorph auf [mm] $\overline{\mathbb E}$.
[/mm]
Dann ist $|f(z)| [mm] \le \max\{|f(\zeta)|; \zeta \in \overline{\mathbb E}\}=|e^{1^2+2*1}|=e^3$
[/mm]
geht das in die richtige Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 10.09.2022 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
> also ich habe jetzt raus
>
> [mm]|e^{z^2+2z}| [/mm]hat ein Minimum bei [mm]z= -1[/mm]. Sprich auf dem
> Rand.
>
> Dazu habe ich 1.Fall [mm]f(z)=e^{z^2+2z}[/mm] und 2.Fall
> [mm]g(z)=-e^{z^2+2z}[/mm] betrachtet.
>
> 1.Fall [mm]f(z)=e^{z^2+2z}[/mm]
>
> [mm]f'(z)=(2z+2)\cdot{}e^{z^2+2z} =0[/mm], da [mm]e^{z^2+2z}>0[/mm] , muss
> [mm](2z+2)=0 [/mm]sein, also [mm]z=-1[/mm] . Nun ist [mm]f''(z)= e^{z^2+2z}((2z+2)^2+2)[/mm]
> und mit [mm]z=-1[/mm] ist [mm]f''(-1)=\frac{2}{e}>0[/mm] ein lokales Minimum.
>
> 2.Fall [mm]g(z)=-e^{z^2+2z}[/mm]
> [mm]g'(z)=-(2z+2)\cdot{}e^{z^2+2z} =0, da e^{z^2+2z}>0[/mm] , muss
> [mm]-(2z+2)=0[/mm] sein, also [mm]z=-1[/mm] . Also ist [mm]g''(z)= e^{z^2+2z}(-(2z+2)^2-2)[/mm]
> und mit [mm]z=-1[/mm] ist [mm]g''(-1)=-\frac{2}{e}<0[/mm] ein lokales
> Maximum.
>
> Der Satz von Max.-Min prinzip sagt ja, wenn [mm]|f|[/mm] innerhalb
> eines Gebietes ein lokales Min oder Max annimmt, dann ist [mm]f[/mm]
> konstant.
>
> Aber [mm]z=-1[/mm] ist ja auf dem Rand. Hätte ich mir die obige
> Rechnung sparen können und einfach sagen können
>
> [mm]\overline{\mathbb E}[/mm] ist der Abgeschlossene Einheitskreis,
> sprich das Innere des Kreises plus Rand und f kann stetig
> fortgesetzt werden auf dem Rand, da [mm]f(z)=e^{z^2+2z}[/mm]
> holomorph auf [mm]\overline{\mathbb E}[/mm].
>
> Dann ist [mm]|f(z)| \le \max\{|f(\zeta)|; \zeta \in \overline{\mathbb E}\}=|e^{1^2+2*1}|=e^3[/mm]
>
> geht das in die richtige Richtung?
Nein. Überall behandelst Du f wie eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen.
Das fängt schon mit dem Betrag an.....
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Du hast erkannt, dass das Min/Max auf dem Rand liegen muss. Also betrachtest du alle z, die auf dem Rand liegen: Setze [mm] z=e^{i\varphi}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Mo 12.09.2022 | | Autor: | fred97 |
Ich gebe Dir mal einen Anschub.
Sei $f(z):= | [mm] e^{z^2+2z}| [/mm] $.
Weiter sei $z=x+iy$ und $|z|=1$, also [mm] x^2+y^2=1.
[/mm]
Zeige:
$f(z)= [mm] e^{g(x)},$
[/mm]
wobei [mm] $g(x)=2x^2+2x-1$
[/mm]
Beachte hierbei
1. für w [mm] \in \IC [/mm] ist [mm] |e^w|= e^{Re(w)}
[/mm]
und
2. [mm] y^2=1-x^2.
[/mm]
Bestimme M: = [mm] \max \{g(x): x \in [-1,1]\} [/mm] und m: = [mm] \min \{g(x): x \in [-1,1]\}.
[/mm]
Maximum bzw. Minimum von f auf [mm] $\partial \mathbb [/mm] E$ sind dann [mm] e^M [/mm] bzw [mm] e^m.
[/mm]
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