Maximum einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die durch f(x) = [mm] \bruch{x}{e^{x}+1} [/mm] definierte Funktion [mm] f:(0,\infty)->\IR [/mm] an genau einer Stelle ihren größten Wert annimmt. |
Hallo,
habe bei der Aufgabe folgendes versucht:
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x) = 0
f ist als Quotient stetiger Funktionen stetig.
f'(x) = [mm] \bruch{1-e^{x}(x-1)}{(e^{x}+1)^{2}} \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] \Rightarrow 1-e^{x}(x-1) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = [mm] e^{x}(x-1)
[/mm]
Nun ja,was macht man hier? Ich bekomme diese Gleichung nicht gelöst. Kann man das vll. auf irgendeinen anderen Weg machen?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Do 10.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass die durch f(x) = [mm]\bruch{x}{e^{x}+1}[/mm]
> definierte Funktion [mm]f:(0,\infty)->\IR[/mm] an genau einer Stelle
> ihren größten Wert annimmt.
>
> Hallo,
>
> habe bei der Aufgabe folgendes versucht:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}[/mm] f(x) = [mm]\infty[/mm]
Das stimmt nicht. Richtig: [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}[/mm] f(x) = [mm]0[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x) = 0
Diese beiden Grenzwerte zeigen: es gibt ein [mm] x_0>0 [/mm] mit: f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für jedes x>0.
>
> f ist als Quotient stetiger Funktionen stetig.
> f'(x) = [mm]\bruch{1-e^{x}(x-1)}{(e^{x}+1)^{2}} \Rightarrow[/mm]
> f'(x) = [mm]\Rightarrow 1-e^{x}(x-1)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 =
> [mm]e^{x}(x-1)[/mm]
>
> Nun ja,was macht man hier? Ich bekomme diese Gleichung
> nicht gelöst. Kann man das vll. auf irgendeinen anderen
> Weg machen?
Du mußt die Gleichung nicht explizit lösen !
Wir wissen: $f'(x)= [mm] \bruch{1+e^{x}(1-x)}{(e^{x}+1)^{2}}$, [/mm] also gilt für obiges [mm] x_0:
[/mm]
[mm] 1+e^{x_0}(1-x_0)=0
[/mm]
Nun betrachte h(x):= [mm] 1+e^{x}(1-x) [/mm] (das ist gerade der Zähler von f')
Wenn Du zeigen kannst, dass h nur eine Nullstelle hat bist Du fertig.
Dazu zeige: h ist auf (0, [mm] \infty) [/mm] steng fallend.
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Super. Vielen Dank :)
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