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| Aufgabe | | Seien [mm] z_{1},...z_{n} \in \IC [/mm] mit [mm] |z_{v}|>1 [/mm] für v=1,..,n. Zeigen Sie, dass das Produkt der Abstände eines Punktes [mm] z\in \overline{D_{1}(0)} [/mm] zu den Punkten [mm] z_{1},...z_{n} [/mm] sein Maximum und sein Minimum auf [mm] \partial D_{1}(0) [/mm] annimmt. |
Hallihallo,
bei meiner Klausurvorbereitung bin ich auf diese Aufgabe gestoßen. Ich dachte erst, dass die Aufgabe etwas mit Maximumsprinzip zu tun hätte, aber die Lösung damit hat irgendwie nicht wirklich geklappt. Ich hab keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll, hat jemand einen Tipp?
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Beachte die Verträglichkeit des komplexen Betrages mit der Multiplikation:
[mm]\left| z - z_1 \right| \cdot \left| z - z_2 \right| \cdots \left| z - z_n \right| = \left| f(z) \right| \ \ \text{mit} \ \ f(z) = \left( z - z_1 \right) \left( z - z_2 \right) \cdots \left( z - z_n \right)[/mm]
Jetzt ist [mm]f[/mm] ein nichtkonstantes Polynom vom Grad [mm]n[/mm]. "Holomorpher", sozusagen, geht es nicht.
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Ja, stimmt ;) danke...das ist wirklich ziemlich leicht. Und weil holomorphe Funktionen auf einer kompakten Menge Minimum und Maximum annehmen, nimmt das Produkt Minimum und Maximum an, richtig?
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Du mußt schon sorgfältiger argumentieren. Schließlich nimmt jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ihr Maximum und Minimum an. Das Besondere bei holomorphen Funktionen ist doch, daß man die Lage der Maximal- bzw. Minimalstelle genauer angeben kann.
Betrachte
[mm]f(z) = \left( z - z_1 \right) \cdot \left( z - z_2 \right) \cdots \left( z - z_n \right)[/mm]
für [mm]|z| \leq 1[/mm]. Schon wegen der Stetigkeit nimmt [mm]|f|[/mm] ein Minimum und Maximum an. Und wegen der Holomorphie liegt es wo?
Wo geht übrigens [mm]\left| z_{\nu} \right| > 1[/mm] ein?
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Naja, wieder im D 1 Kreis um 0, oder?
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Das ist ja trivial, es gilt schließlich für jede stetige Funktion. In der Aufgabe wird doch viel mehr behauptet. Du mußt das einmal genau durchlesen.
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Ja, da steht, dass das Minimum sogar auf dem Rand angenommen wird...aber wieso folgt das sofort aus der Holomorphie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Zauberwort: "Maximumprinzip"
FRED
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