Maximum und Minimum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 13.05.2012 | | Autor: | link963 |
| Aufgabe | Man bestimme Maximum und Minimum folgender Funktionen:
1. $f(x,y) = [mm] x^{2}y$ [/mm] auf m = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}: x^{2}+y^{2} \le [/mm] 1}
2. $f(x,y) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] y^{3} [/mm] - 3xy$ auf m = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}: [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2, -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2} |
Hallo.
Um die Aufgabe zu lösen, muss ich ja Maxima und Minima im Inneren bestimmen und anschließend die Randpunkte überprüfen?
zu 1.)
$grad(f) = (2xy, [mm] x^{2})$
[/mm]
$grad(f) = 0 [mm] \gdw [/mm] x = y = 0$ --> notwendige Bed. erfüllt bei (0,0)
$H(x,y) = [mm] \pmat{ 2y & 2x \\ 2x & 0 }$
[/mm]
$det(H(0,0)) = 0$ --> Sattelpunkt bei (0,0)
zu 2.)
$grad(f) = [mm] (3x^{2} [/mm] - 3y, [mm] 3y^{2} [/mm] - 3x)$
$grad(f) = 0 [mm] \gdw [/mm] x = y = 0$ oder $x = y = 1$ --> notwendige Bed. erfüllt bei (0,0) und (1,1)
$H(x,y) = [mm] \pmat{ 6x & -3 \\ -3 & 6y }$
[/mm]
$det(H(0,0)) = -9 < 0$ --> kein rel. Extremum bei (0,0)
$det(H(1,1)) = 27 > 0$ --> rel. Extremum bei (1,1)
$f(1,5;1,5) = 0 > -1 = f(1,1)$ --> Minimum bei (1,1)
Ich hoffe das ist soweit richtig. Aber wie untersuche ich jetzt den Rand? Die Funktion in der zweiten Aufgabe ist auf einem Rechteck definiert. Reicht es da die Eckpunkte zu untersuchen? Also:
$f(0,-1) = -1$
$f(0,2) = 8$
$f(2,-1) = 13$
$f(2,2) = 4$
--> Minima bei (1,1) und (0,-1); Maximum bei (2,-1) ???
Zum Kreis bei Aufgabe 1 habe ich leider keine Idee?!
Danke im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Di 15.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Man bestimme Maximum und Minimum folgender Funktionen:
> 1. [mm]f(x,y) = x^{2}y[/mm] auf m = [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}: x^{2}+y^{2} \le 1 \}[/mm]
> 2. [mm]f(x,y) = x^{3} + y^{3} - 3xy[/mm] auf m = [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}: 0 \le x \le 2, -1 \le y \le 2 \}[/mm]
> Hallo.
>
> Um die Aufgabe zu lösen, muss ich ja Maxima und Minima im
> Inneren bestimmen und anschließend die Randpunkte
> überprüfen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu 1.)
> [mm]grad(f) = (2xy, x^{2})[/mm]
> [mm]grad(f) = 0 \gdw x = y = 0[/mm] -->
> notwendige Bed. erfüllt bei (0,0)
Notwendige Bed. erfüllen auch (0,y) [mm] $\in$ [/mm] m.
Diese Punkte haben aber auch keine definite H(0,y), so dass keine
neuen Ergebnisse hinzukommen.
>
> [mm]H(x,y) = \pmat{ 2y & 2x \\ 2x & 0 }[/mm]
>
> [mm]det(H(0,0)) = 0[/mm] --> Sattelpunkt bei (0,0)
>
> zu 2.)
> [mm]grad(f) = (3x^{2} - 3y, 3y^{2} - 3x)[/mm]
> [mm]grad(f) = 0 \gdw x = y = 0[/mm]
> oder [mm]x = y = 1[/mm] --> notwendige Bed. erfüllt bei (0,0) und
> (1,1)
>
> [mm]H(x,y) = \pmat{ 6x & -3 \\ -3 & 6y }[/mm]
>
> [mm]det(H(0,0)) = -9 < 0[/mm] --> kein rel. Extremum bei (0,0)
> [mm]det(H(1,1)) = 27 > 0[/mm] --> rel. Extremum bei (1,1)
>
> [mm]f(1,5;1,5) = 0 > -1 = f(1,1)[/mm] --> Minimum bei (1,1)
>
> Ich hoffe das ist soweit richtig. Aber wie untersuche ich
> jetzt den Rand? Die Funktion in der zweiten Aufgabe ist auf
> einem Rechteck definiert. Reicht es da die Eckpunkte zu
> untersuchen? Also:
>
> [mm]f(0,-1) = -1[/mm]
> [mm]f(0,2) = 8[/mm]
> [mm]f(2,-1) = 13[/mm]
> [mm]f(2,2) = 4[/mm]
Eigentlich nicht.
Es müsste f auch auf den Randgeraden untersucht werden.
Also z.B. f(0,y).
Diese Funktionen in nur einer Veränderlichen müssen auf lokale
Extremwerte geprüft werden.
Natürlich kann es sein, dass es keine lokale Extrema gibt,
oder die Eckpunkte den größeren/kleineren Wert liefern.
>
> --> Minima bei (1,1) und (0,-1); Maximum bei (2,-1) ???
>
> Zum Kreis bei Aufgabe 1 habe ich leider keine Idee?!
Eine Kreisbedingung (Kreisparametrisierung) in f einsetzen
und diese auf lokale Extrema untersuchen.
z.B.: [mm] $x^2+y^2 [/mm] =1 [mm] \gdw x^2 [/mm] = [mm] 1-y^2$
[/mm]
$f(y) = [mm] (1-y^2)y$ [/mm] für $-1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le1$
[/mm]
Anfangs- und Endpunkte der Parametrisierung noch gesondert prüfen.
>
> Danke im Vorraus.
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Di 15.05.2012 | | Autor: | link963 |
Vielen Dank für die Antwort.
Also zu 1.)
> Eine Kreisbedingung (Kreisparametrisierung) in f einsetzen
> und diese auf lokale Extrema untersuchen.
>
> z.B.: [mm]x^2+y^2 =1 \gdw x^2 = 1-y^2[/mm]
> [mm]f(y) = (1-y^2)y[/mm] für [mm]-1 \le y \le1[/mm]
Demnach bestimme ich nun von dieser Funktion die Extrempunkte.
$ f'(y) = 1 - [mm] 3y^2 [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] y = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] $
$ f''(y) = -6y $ --> Minimum bei [mm] (f(-\wurzel{\bruch{1}{3}}),-\wurzel{\bruch{1}{3}}) [/mm] und Maximum bei [mm] (f(\wurzel{\bruch{1}{3}}),\wurzel{\bruch{1}{3}})
[/mm]
$ x = [mm] \pm \wurzel{1 - y^{2}} [/mm] $ -->
Maxima bei [mm] (\wurzel{\bruch{2}{3}},\wurzel{\bruch{1}{3}}) [/mm] und [mm] (-\wurzel{\bruch{2}{3}},\wurzel{\bruch{1}{3}}).
[/mm]
Minima bei [mm] (\wurzel{\bruch{2}{3}},-\wurzel{\bruch{1}{3}}) [/mm] und [mm] (-\wurzel{\bruch{2}{3}},-\wurzel{\bruch{1}{3}}).
[/mm]
> Anfangs- und Endpunkte der Parametrisierung noch gesondert
> prüfen.
Verstehe ich nicht. Ich habe doch jetzt den gesamten Rand untersucht und im Inneren gab es ja keine Extremstellen.
zu 2.)
> Es müsste f auch auf den Randgeraden untersucht werden.
> Also z.B. f(0,y).
> Diese Funktionen in nur einer Veränderlichen müssen auf
> lokale
> Extremwerte geprüft werden.
Also die erste Gerade f(0,y) ist x=0 gesetzt.
$ f(0,y) = [mm] y^{3} [/mm] $
Diese Funktion hat kein lok. Extremum
$ f(2,y) = 8 - 6y + [mm] y^{3} [/mm] $
Hier erhalte ich eine Maximum bei [mm] -\wurzel{2} [/mm] (entfällt, da es nicht zu m gehört) und ein Minimum bei [mm] \wurzel{2}. [/mm] Der Funktionswert vom Minimum ist größer als der Funktionswert vom Minimum im Innern, also ist dieses Randminimum auch irrelevant?
$ f(x,-1) = [mm] x^{3} [/mm] - 1 + 3x $
Diese Fkt. besitzt ebenfals kein lok. Extremum.
$ f(x,2) = [mm] x^{3} [/mm] + 8 - 6x [mm] \equiv [/mm] f(2,x) = 8 - 6x + [mm] x^{3} [/mm] $
Gleichen Folgerungen wie bei "f(2,y)".
Damit sind die Intervallgrenzen nocht nicht untersucht, was ja dann den Eckpunkten entspricht.
Die Eckpunkte müssen aber in jedem Fall überprüft werden?
Link
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Hallo link963,
> Vielen Dank für die Antwort.
>
> Also zu 1.)
>
> > Eine Kreisbedingung (Kreisparametrisierung) in f einsetzen
> > und diese auf lokale Extrema untersuchen.
> >
> > z.B.: [mm]x^2+y^2 =1 \gdw x^2 = 1-y^2[/mm]
> > [mm]f(y) = (1-y^2)y[/mm]
> für [mm]-1 \le y \le1[/mm]
>
> Demnach bestimme ich nun von dieser Funktion die
> Extrempunkte.
>
> [mm]f'(y) = 1 - 3y^2 = 0 \gdw y = \pm \wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> [mm]f''(y) = -6y[/mm] --> Minimum bei
> [mm](f(-\wurzel{\bruch{1}{3}}),-\wurzel{\bruch{1}{3}})[/mm] und
> Maximum bei
> [mm](f(\wurzel{\bruch{1}{3}}),\wurzel{\bruch{1}{3}})[/mm]
>
> [mm]x = \pm \wurzel{1 - y^{2}}[/mm] -->
>
> Maxima bei [mm](\wurzel{\bruch{2}{3}},\wurzel{\bruch{1}{3}})[/mm]
> und [mm](-\wurzel{\bruch{2}{3}},\wurzel{\bruch{1}{3}}).[/mm]
> Minima bei [mm](\wurzel{\bruch{2}{3}},-\wurzel{\bruch{1}{3}})[/mm]
> und [mm](-\wurzel{\bruch{2}{3}},-\wurzel{\bruch{1}{3}}).[/mm]
>
>
> > Anfangs- und Endpunkte der Parametrisierung noch gesondert
> > prüfen.
>
> Verstehe ich nicht. Ich habe doch jetzt den gesamten Rand
> untersucht und im Inneren gab es ja keine Extremstellen.
>
Betrachte f(y) für y=-1 und y=1.
>
> zu 2.)
>
> > Es müsste f auch auf den Randgeraden untersucht werden.
> > Also z.B. f(0,y).
> > Diese Funktionen in nur einer Veränderlichen müssen
> auf
> > lokale
> > Extremwerte geprüft werden.
>
> Also die erste Gerade f(0,y) ist x=0 gesetzt.
> [mm]f(0,y) = y^{3}[/mm]
> Diese Funktion hat kein lok. Extremum
>
> [mm]f(2,y) = 8 - 6y + y^{3}[/mm]
> Hier erhalte ich eine Maximum bei [mm]-\wurzel{2}[/mm] (entfällt,
> da es nicht zu m gehört) und ein Minimum bei [mm]\wurzel{2}.[/mm]
> Der Funktionswert vom Minimum ist größer als der
> Funktionswert vom Minimum im Innern, also ist dieses
> Randminimum auch irrelevant?
>
Ja.
> [mm]f(x,-1) = x^{3} - 1 + 3x[/mm]
> Diese Fkt. besitzt ebenfals kein lok. Extremum.
>
> [mm]f(x,2) = x^{3} + 8 - 6x \equiv f(2,x) = 8 - 6x + x^{3}[/mm]
>
> Gleichen Folgerungen wie bei "f(2,y)".
>
> Damit sind die Intervallgrenzen nocht nicht untersucht, was
> ja dann den Eckpunkten entspricht.
> Aber muss ich die Eckpunkte nicht in jedem Fall prüfen?
>
Die Eckpunkte sind natürlich auch zu prüfen.
> Link
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 15.05.2012 | | Autor: | link963 |
> > > Anfangs- und Endpunkte der Parametrisierung noch gesondert
> > > prüfen.
> >
> > Verstehe ich nicht. Ich habe doch jetzt den gesamten Rand
> > untersucht und im Inneren gab es ja keine Extremstellen.
> >
>
>
> Betrachte f(y) für y=-1 und y=1.
Ahh... natürlich muss ich das machen. Hatte eben in die falsche Richtung gedacht zwecks der geometrischen Deutung.
Ich habe mal noch eine weitere Frage zu Extremwertproblemen.
Wenn ich über die Hessematrix und über Quadratische Formen keine Aussage gewinne, kann ich dann auch so folgern:
$ [mm] f(x_{0}) \le [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] $ Minimum in [mm] x_{0}
[/mm]
$ [mm] f(x_{0}) \ge [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] $ Maximum in [mm] x_{0}
[/mm]
Also zB.:
$ f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] $ in (0,0)
$ f(0,0) = 0 [mm] \le x^{2} [/mm] = f(x,y) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] $ Minimum in (0,0)
oder:
$ f(x,y,z) = [mm] x^{4} [/mm] + [mm] y^{6} [/mm] + [mm] z^{10} [/mm] $ in (0,0,0)
$ f(0,0,0) = 0 [mm] \le [/mm] f(x,y,z) [mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] $ Minimum in (0,0,0)
Danke
link963
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Hallo link963,
> > > > Anfangs- und Endpunkte der Parametrisierung noch gesondert
> > > > prüfen.
> > >
> > > Verstehe ich nicht. Ich habe doch jetzt den gesamten Rand
> > > untersucht und im Inneren gab es ja keine Extremstellen.
> > >
> >
> >
> > Betrachte f(y) für y=-1 und y=1.
>
> Ahh... natürlich muss ich das machen. Hatte eben in die
> falsche Richtung gedacht zwecks der geometrischen Deutung.
>
> Ich habe mal noch eine weitere Frage zu
> Extremwertproblemen.
> Wenn ich über die Hessematrix und über Quadratische
> Formen keine Aussage gewinne, kann ich dann auch so
> folgern:
>
> [mm]f(x_{0}) \le f(x) \forall x \in \IR^{n}, n \in \IN \Rightarrow[/mm]
> Minimum in [mm]x_{0}[/mm]
> [mm]f(x_{0}) \ge f(x) \forall x \in \IR^{n}, n \in \IN \Rightarrow[/mm]
> Maximum in [mm]x_{0}[/mm]
>
> Also zB.:
>
> [mm]f(x,y) = x^{2}[/mm] in (0,0)
> [mm]f(0,0) = 0 \le x^{2} = f(x,y) \forall x,y \in \IR \Rightarrow[/mm]
> Minimum in (0,0)
>
> oder:
>
> [mm]f(x,y,z) = x^{4} + y^{6} + z^{10}[/mm] in (0,0,0)
> [mm]f(0,0,0) = 0 \le f(x,y,z) \forall x,y,z \in \IR \Rightarrow[/mm]
> Minimum in (0,0,0)
>
Natürlich kannst Du auch so folgern.
> Danke
> link963
Gruss
MathePower
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