Maximum unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Do 18.06.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Wie muss eine Strecke s in drei Teile geteilt werden, damit dass Produkt dieser Teile möglichst groß ist? |
Also das Ergebnis damit das Produkt möglichst groß ist dürfte sein, dass die Strecke gedrittelt werden muss.
Komme auch darauf, nur weis ich nicht wie ich beweisen soll, dass mein gefundenes lokales Maximum auch ein globales ist, deswegen schreibe ich jetzt nicht meinen ganzen Rechenweg auf da der ja wahrscheinlich nicht notwendig ist um das rauszufinden was mir noch fehlt. (wenn doch, dann bitte nochmal nachfragen)
Meine Funktion zu der das Maximum gesucht ist:
f(w;x;y)=w*x*y
Nebenbedingung: s=w+x+y [mm] \gdw [/mm] w=s-x-y
in Zielfunktion einsetzen:
[mm] g(x;y)=(s-x-y)*x*y=s*x*y-x^2*y-x*y^2
[/mm]
...
Dann normal als Funktion 2er Veränderlicher auf Extremstellen untersucht und habe das lokale Maximum für
[mm] w=\bruch{s}{3}
[/mm]
[mm] x=\bruch{s}{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{s}{3}
[/mm]
gefunden.
Jetzt habe ich Probleme, herauszufinden, dass das auch das globale Maximum ist.
Vielleicht geht das, indem man den Wertebereich von f(w;x;y)=w*x*y herausfindet, nur wie mache ich das am besten?
Über die Höhenlinien der Zielfunktion wo ich die NB eingesetzt habe?
[mm] h=s*x*y-x^2*y-x*y^2
[/mm]
[mm] \gdw 0=s*x*y-x^2*y-x*y^2-h [/mm]
[mm] (/-x\not=0):
[/mm]
[mm] \gdw 0=y^2+x*y-s*y+\bruch{h}{x}=y^2+y*(x-s)+\bruch{h}{x}
[/mm]
[mm] \gdw y=-\bruch{x-s}{2}\pm\sqrt{\bruch{(x-s)^2}{4}-\bruch{h}{x}}
[/mm]
Da x und s >0 sind kann ich prüfen bei welchem h die Wurzel nicht mehr ausgrechnet werden kann:
[mm] \bruch{(x+s)^2}{4}\ge\bruch{h}{x}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x*(x+s)^2}{4}\ge{h}
[/mm]
kann man von [mm] \bruch{x*(x+s)^2}{4}=h [/mm] ohne weiteres den Graphen zeichnen?
Danke und Gruß,
tedd
|
|
| |
|
Hallo tedd,
Die Funktion g ist in ganz [mm] \IR^2 [/mm] total differenzierbar.
Der eigentliche Definitionsbereich D ist aber nicht [mm] \IR^2,
[/mm]
sondern besteht nur aus jenen Zahlenpaaren (x,y),
für welche alle 3 Teilstrecken größer oder gleich
Null sind, also [mm] x\ge{0} [/mm] und [mm] y\ge{0} [/mm] und [mm] s-x-y\ge [/mm] 0.
Dieser Definitionsbereich ist ein Dreiecksgebiet
(mit Rand) in der x-y-Ebene. Man kann zeigen, dass
entlang des gesamten Randes die Gleichung g(x,y)=0
gilt und dass für alle inneren Punkte des Dreiecks D
g(x,y)>0 ist. Deshalb kann in einem Randpunkt kein
globales Maximum angenommen werden. Wegen
der Differenzierbarkeit von g kann ein Maximum im
Inneren von D nur in einem Punkt (x,y) mit
[mm] g_x(x,y)=g_y(x,y)=0 [/mm] angenommen werden. Da der Punkt
[mm] (x=\bruch{s}{3}, y=\bruch{s}{3}) [/mm] der einzige solche Punkt im Inneren von D
ist, kann das globale Maximum nur dort liegen.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Do 18.06.2009 | | Autor: | tedd |
Hey Al-Chwarizmi,
Ich probier das gleich mal aus...
Vielen Dank ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
| |
|
ich habe das maximum einfach durch D(s/3;s/3) (<0) und f_xx(s/3;s/3) (<0) "bewiesen".
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Do 18.06.2009 | | Autor: | tedd |
Ja klar. Aber das zeigt "nur", dass du ein lokales maximum hast und streng genommen muss man dann auch noch beweisen, dass es auch ein globales ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Do 18.06.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es ist sicher nicht der eleganteste Weg, er führt aber in zwei Schritten zum Ziel.
Setze zunächst für w einen beliebigen festen Wert ein und zeige, dass w*x*y maximal ist, wenn x=y.
Zeige nun, dass das Produkt für w=x=y größer ist als für [mm] w\ne [/mm] x=y.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Do 18.06.2009 | | Autor: | tedd |
Hi Abakus!
Also von der Idee her klingt das einleuchtend, aber wie genau zeige ich denn, dass w*x*y maximal wird für ein festes beliebiges w [mm] \not= [/mm] x oder y wenn x=y?
sei [mm] c\in\IR^{+\not=x,y}
[/mm]
f(x;y)=c*x*y
aber wenn ich das auf Extremstellen untersuche kommt natürlich nur x=0 bzw y=0 raus.
Hm jetzt blick ich grad irgendwie doch nicht mehr ganz durch.
Danke und gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Do 18.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hi Abakus!
>
> Also von der Idee her klingt das einleuchtend, aber wie
> genau zeige ich denn, dass w*x*y maximal wird für ein
> festes beliebiges w [mm]\not=[/mm] x oder y wenn x=y?
Hallo,
die Summe w+x+y ist gleich s.
Für ein konstantes w ist x+y=s-w als Differenz zweier Konstanten ebenfalls konstant.
Der Mittelwert von x und y sei m. Dann lässt sich x als m+c und y als m-c darstellen.
Das Produkt x*y ist also [mm] (m+c)(m-c)=m^2-c^2. [/mm] Dieser Term ist maximal, wenn [mm] c^2=0 [/mm] gilt, also wenn x und y jeweils gleich m sind.
Da w konstant ist ist w*x*y maximal, wenn x*y maximal ist.
Gruß Abakus
>
> sei [mm]c\in\IR^{+\not=x,y}[/mm]
>
> f(x;y)=c*x*y
>
> aber wenn ich das auf Extremstellen untersuche kommt
> natürlich nur x=0 bzw y=0 raus.
> Hm jetzt blick ich grad irgendwie doch nicht mehr ganz
> durch.
> Danke und gruß,
> tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 18.06.2009 | | Autor: | tedd |
Hi!
> Hallo,
> die Summe w+x+y ist gleich s.
> Für ein konstantes w ist x+y=s-w als Differenz zweier
> Konstanten ebenfalls konstant.
>
> Der Mittelwert von x und y sei m. Dann lässt sich x als m+c
> und y als m-c darstellen.
Also hier komme ich nicht ganz mit...
[mm] x+y=\underbrace{s-w}_{=c} [/mm] ist klar...
[mm] \bruch{x+y}{2}=m [/mm] !?
hier habe ich wohl irgendwas falsch gemacht denn von hier komme ich nicht auf x als m+c und y als m-c ...
> Gruß Abakus
Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 18.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hi!
> > Hallo,
> > die Summe w+x+y ist gleich s.
> > Für ein konstantes w ist x+y=s-w als Differenz zweier
> > Konstanten ebenfalls konstant.
> >
> > Der Mittelwert von x und y sei m. Dann lässt sich x als m+c
> > und y als m-c darstellen.
>
> Also hier komme ich nicht ganz mit...
> [mm]x+y=\underbrace{s-w}_{=c}[/mm] ist klar...
>
> [mm]\bruch{x+y}{2}=m[/mm] !?
>
> hier habe ich wohl irgendwas falsch gemacht denn von hier
> komme ich nicht auf x als m+c und y als m-c ...
Hallo,
die zwei Zahlen x und y haben bei einer konstanten Summe x+y doch einen konstanten Mittelwert (x+y)/2.
Entweder sind x und y gleich (den Mittelwert habe ich m genannt), oder eine der beiden Zahlen ist etwa größer und die andere Zahl dafür etwas kleiner als der Mittelwert m (deshalb m+c und m-c).
Gruß Abakus
>
> > Gruß Abakus
>
> Gruß,
> tedd
|
|
|
|
