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| Aufgabe | Sei D= [mm] D_{1}(0) [/mm] der offene Einheitskreis in [mm] \IC [/mm] und sei f:D->D holomorph mit f(0)=f'(0)=0.
Zeigen Sie: Für alle [mm] z\in [/mm] D gilt [mm] |f(z)|\le |z|^2. [/mm] |
Hallo,
ich hätte eine kleine Frage zur obigen Aufgabe. Ich habe die Funktion [mm] \bruch{f}{z^2} [/mm] betrachtet und OE angenommen, dass z ungleich 0 ist (das geht ja, weil für z=0 ist die Ungleichung trivialerweise erfüllt). Ich will jetzt das Maximumsprinzip anwenden, hab nur an einer Stelle ein Problem: Wieso kann ich aus f'(0)= 0 schließen, dass f und somit auch [mm] \bruch{f}{z^2} [/mm] nicht konstant ist? Hat jemand da einen Tipp für mich? Ich dachte, dass es irgendwie mit dem Identitätssatz geht, aber das krieg ich dann doch iwie nicht hin...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 So 04.07.2010 | | Autor: | zorin |
Betrachte [mm] g(z) = f(z)/z [/mm].
Benutze das Lemma von Schwarz (da steckt auch das Maximumprinzip drin), um [mm] |g(z)|\le|z| [/mm] zu folgern.
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Das verstehe ich nicht ganz. Wir haben das Lemma von Schwarz nicht bewiesen, aber beim beweis interpretiert man ja mal f(z)/z als diff.qoutienten von f. Aber naja, wnen ich jetzt [mm] f(z)/z^2 [/mm] habe, dann geht das ja so einfach nicht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das verstehe ich nicht ganz. Wir haben das Lemma von
> Schwarz nicht bewiesen, aber beim beweis interpretiert man
> ja mal f(z)/z als diff.qoutienten von f. Aber naja, wnen
> ich jetzt [mm]f(z)/z^2[/mm] habe, dann geht das ja so einfach nicht,
> oder?
Lies dir zorins Antwort nochmal genau durch: du sollst das Schwarzsche Lemma auf die Funktion $g(z)=f(z)/z$ anwenden. Wenn dir das gelingt, dann hast du die Aussage
[mm] |g(z)| \le |z| [/mm] auf dem Einheitskreis, oder
[mm] \left|\bruch{f(z)}{z}}\right| \le |z| \gdw |f(z)| \le |z^2| [/mm] auf dem Einheitskreis.
Du musst also die Voraussetzungen des Schwarzschen Lemmas zeigen:
1. $g(z)$ holomorph im Einheitskreis,
2. $g(0)=0$ .
Das funktioniert zunächst mal nicht, da $g(0)$ nicht definiert ist. Setze g also auf 0 fort:
[mm] g(z) := \begin{cases} \bruch{f(z)}{z},& z\not=0\\ 0, & z=0 \end{cases} [/mm].
Voraussetzung 2 ist per Definition erfüllt, du musst also nur noch zeigen, dass die so definierte Funktion im Punkt $z=0$ holomorph ist. Und dazu brauchst du $f(0)=f'(0)=0$.
Viele Grüße
Rainer
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Aber wenn wir das Lemma von Schwarz nicht gemacht haben, muss ich zuerst das beweisen, bevor ich es anwende, richtig? Und das scheint mir ein wenig aufwendig für eine Klausuraufgabe...Und als Tipp steht bei der Aufgabe dabei, dass man die Funktion [mm] f(z)/z^2 [/mm] betrachten soll. Gibt es evtl noch eine andere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber wenn wir das Lemma von Schwarz nicht gemacht haben,
> muss ich zuerst das beweisen, bevor ich es anwende,
Ah, das ist mir aus deinen bisherigen Posts nicht klargeworden.
> richtig? Und das scheint mir ein wenig aufwendig für eine
> Klausuraufgabe...Und als Tipp steht bei der Aufgabe dabei,
> dass man die Funktion [mm]f(z)/z^2[/mm] betrachten soll. Gibt es
> evtl noch eine andere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen?
Da die Funktion [mm] $f(z)/z^2$ [/mm] im Punkt 0 nicht definiert ist, musst du die in meinem letzten Post genannte Argumentation für den Punkt z=0 anwenden: Definiere:
[mm] g(z) := \begin{cases} \bruch{f(z)}{z^2},& z\not=0\\ 0, & z=0 \end{cases} [/mm]
und weise mit Hilfe von $f(0)=f'(0)=0$ nach, dass $g(z)$ im Punkt z=0 holomorph ist. Dann ist diese Funktion in ganz D holomorph und du kannst das Maximumsprinzip anwenden: entweder $g(z)$ ist konstant, oder $|g(z)|$ hat kein Maximum.
Was du noch brauchst: der Wertebereich von f ist D, und daher ist $|f(z)| <1$ für alle $z [mm] \in [/mm] D$.
Viele Grüße
Rainer
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Das habe ich jetzt alles soweit hinbekommen. Nur noch eine Frage: Gibt es keine Möglichkeit auszuschließen, dass g konstant ist? Kann das bei der Aufgabe wirklich sein? Dann müsste ja auch f konstant sein (und zwar 0), aber ich finde nichts, um auszuschließen, dass dies der Fall ist...
Klar, es ist nicht wirklich schlimm, sollte f konstant sein, dann stimmt die Ungleichung ja immernoch. Dennoch hatte ich irgendwie zunächst den Gedanken, dass man dies noch ausschließen müsste...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich jetzt alles soweit hinbekommen. Nur noch eine
> Frage: Gibt es keine Möglichkeit auszuschließen, dass g
> konstant ist? Kann das bei der Aufgabe wirklich sein? Dann
> müsste ja auch f konstant sein (und zwar 0), aber ich
> finde nichts, um auszuschließen, dass dies der Fall
> ist...
Das ist kein Wunder ! Unterscheide 2 Fälle:
Fall 1: f konstant. Dann bist Du fertig
Fall 2: f nicht konstant
FRED
> Klar, es ist nicht wirklich schlimm, sollte f konstant
> sein, dann stimmt die Ungleichung ja immernoch. Dennoch
> hatte ich irgendwie zunächst den Gedanken, dass man dies
> noch ausschließen müsste...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 So 04.07.2010 | | Autor: | zorin |
Das Lemma von Schwarz:
Ist [mm] f:D\to D [/mm] holomorph mit [mm] f(0)=0 [/mm],
dann gilt [mm] |f(z)| \le |z| [/mm] und [mm] |f'(0)|\le 1 [/mm].
Für den zweiten Teil braucht man [mm] f(0)=0 [/mm] und das Maximumprinzip nicht, man kann die Cauchy-Formel benutzen.
Der erste Teil folgt aus dem Maximumprinzip:
Setze [mm] g(z)=f(z)/z [/mm] (und [mm] g(0)=f'(0) [/mm]).
[mm] g [/mm] ist holomorph in [mm] D [/mm].
Für [mm] |z|
[mm] |g(z)| \le \max_{|\zeta|=r} |g(\zeta)| = \max_{|\zeta|=r} \bruch{|f(\zeta)|}{|\zeta|} < \bruch{1}{r} [/mm].
Mit [mm] r\to1 [/mm] folgt [mm] |g(z)| \le 1 [/mm] bzw. [mm] |f(z)| \le |z| [/mm].
Falls [mm] |g(z)|=1 [/mm] für ein [mm] z\in D [/mm], dann ist [mm] g [/mm] konstant (Maximumprinzip).
Andernfalls gilt wieder [mm] g:D\to D [/mm]. Und wenn zudem [mm] g(0)=0 [/mm], kann man das Argument wiederholen und erhält [mm] |g(z)| \le |z| [/mm].
Mit den Voraussetzungen der Aufgabe kann man also auch sofort [mm] \bruch{f(z)}{z^2} [/mm] betrachten:
Für [mm] |z|
[mm] \bruch{|f(z)|}{|z|^2} \le \max_{|\zeta|=r} \bruch{|f(\zeta)|}{|\zeta|^2} < \bruch{1}{r^2} [/mm]. Mit [mm] r\to1 [/mm] folgt [mm] \bruch{|f(z)|}{|z|^2} \le 1 [/mm].
Man beachte, dass [mm] \bruch{f(z)}{z^2} [/mm] holomorph ist in 0.
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> Sei D= [mm]D_{1}(0)[/mm] der offene Einheitskreis in [mm]\IC[/mm] und sei
> f:D->D holomorph mit f(0)=f'(0)=0.
> Zeigen Sie: Für alle [mm]z\in[/mm] D gilt [mm]|f(z)|\le |z|^2.[/mm]
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> Hallo,
> ich hätte eine kleine Frage zur obigen Aufgabe. Ich habe
> die Funktion [mm]\bruch{f}{z^2}[/mm] betrachtet und OE angenommen,
> dass z ungleich 0 ist (das geht ja, weil für z=0 ist die
> Ungleichung trivialerweise erfüllt). Ich will jetzt das
> Maximumsprinzip anwenden, hab nur an einer Stelle ein
> Problem: Wieso kann ich aus f'(0)= 0 schließen, dass f und
> somit auch [mm]\bruch{f}{z^2}[/mm] nicht konstant ist? Hat jemand da
> einen Tipp für mich? Ich dachte, dass es irgendwie mit dem
> Identitätssatz geht, aber das krieg ich dann doch iwie
> nicht hin...
Hallo MissPocahontas,
(diese Antwort wollte ich eigentlich schon gestern Sonntag ab-
senden, wurde aber daran durch Netzwerkprobleme gehindert)
mit D ist wohl nicht der (offene und abgeschlossene !) Einheits-
kreis, sondern die offene Kreisscheibe gemeint.
Natürlich erfüllt die konstante Nullfunktion die Voraussetzungen
(holomorph, f(0)=f'(0)=0 ) sowie auch die behauptete Eigen-
schaft [mm]|f(z)|\le |z|^2.[/mm]
Für diese spezielle Funktion bleibt deshalb nichts mehr zu
beweisen. Für alle übrigen Funktionen darf man dann natür-
lich voraussetzen, dass sie nicht konstant sind !
LG Al-Chw.
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