Mechanische Schwingungen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | Die Autobahnbrücke über die Norder-Elbe wurde nach ihrer Fertigstellung in einem Versuch in Schwingung versetzt. Die Ingenieure wollten die Berechnungen der neuartigen Brückenkonstruktion in einem Experiment überprüfen. Dazu wurde bei Flut ein Lastschiff von unten an der Brücke befestigt. Dieses belastete bei sinkendem Wasserspiegel mit einem ständig zunehmenden Teil seines Gewichts die Brückenmitte, bis bei einer Last von 100 t ein Bolzen brach und die Verbindung zur Brücke löste. In diesem Moment betrug ihre Auslenkung dort 5 cm. Anschließend führte die Brücke nahezu harmonische Schwingungen mit der Frequenz f = 0,62 Hz aus.
a) Mit welcher Amplitude und welcher maximalen Geschwindigkeit bewegt sich ein mitten auf ihr stehender Beobachter? |
Ich habe mir gedacht, dass die Auslenkung (5 cm) bereits die Amplitude / maximale Auslenkung ist, stimmt das?
Die maximale Geschwindigkeit errechnet sich doch dann durch
[mm]
\hat v = \omega * \hat s
[/mm]
Das wären dann 0,195 m/s
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
wie ich darauf hingewiesen wurde war das alles falsch. also einmal retour und zurück auf los.
MfG
Wredi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> müsste die geschwindigkeit nicht eher v= 0,62 Hz [mm]\cdot[/mm]
> 0,1m = 0,062 [mm]\frac{m}{s}[/mm] sein. die zurückgelegte Strecke
> in einer Periode beträgt ja 10 cm.
Aber die maximale Auslenkung beträgt doch nur 5 cm?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
aber in einer periode gehst du doch einmal raus und einmal runter. am ende einer periode musst du wieder im ausgangszustand angekommen sein. und der ist wieder unten.
MfG Wredi
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Hallo!
Das ist leider völlig inkorrekt.
Erstmal müßtest du 20 cm ansetzen, denn während einer Periode bewegt sich die Brücke von +5cm nach -5cm, und wieder zurück zu +5cm, macht zwei mal 10cm. Aber das nur nebenbei. (Die 5cm sind natürlich die Amplitude der Schwingung)
Du gehst davon aus, daß die Brücke sich mit ner gleichmäßigen Geschwindigkeit bewegt, aber das ist doch eine Schwingung.
Es gilt für den Weg:
[mm] $x(t)=A*\sin(\omega [/mm] t)$
Und die Geschwindigkeit ist die Ableitung nach der Zeit:
[mm] $v(t)=A*\omega\cos(\omega [/mm] t)$
Und damit: JA, die maximale Geschwindigkeit ergibt sich zu [mm] v_{max}=A*\omega.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | | b) Bei welcher Elongation erfährt der Beobachter maximale Beschleunigung? Wie groß ist diese Beschleunigung? Um wie viel Prozent scheint sein Gewicht zu schwanken? |
Ich würd sagen, dass bei der maximalen Auslenkung die maximale Beschleunigung erreicht ist, oder?
Das hieße dann:
[mm]
a = - \omega^2 \hat s
[/mm]
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Jap, das bekommt man aus der nochmaligen Ableitung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
Und wie berechne ich jetzt den Teil mit dem Gewicht?
Ich finde dazu keinen Ansatz...
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Gewicht? Was für ne Frage nach einem Gewicht?
Meinst du die 100t? Das ist just for Fun, um dir zu zeigen, welche Kräfte da wirken. Das entspricht grade mal 2-3 LKW, die Brücke muß das abkönnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
Es geht um das hier:
b) Bei welcher Elongation erfährt der Beobachter maximale Beschleunigung? Wie groß ist diese Beschleunigung? Um wie viel Prozent scheint sein Gewicht zu schwanken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 So 13.06.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du die maximale Beschleunigung hast, kannst du einfach mal $F=ma$ hinschreiben, und die Gewichtskraft ausrechnen. Die 'normale' Gewichtskraft ist ja $F=mg$, und dann kann man ein Verhaeltnis dazu bilden. Das ist genau dieselbe Aussage, die man macht, wenn man sagt 'Es wirkt das 5-Fache des Koerpergewichtes auf einen', denn damit meint man nur, dass $a=5g$, also $F=5mg$.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | | c) Welche Zeit vergeht vom Moment des Abreißens bis zum Erreichen der maximalen Geschwindigkeit? Nach welcher Zeit beträgt sie erstmals 0,1 m/s? |
Hier muss ich doch einfach dafür sorgen, dass bei [mm] v = \omega \hat s \cos(\omega t) [/mm] der [mm]\cos(\omega t )[/mm] - Teil = 1 ist oder?
Demnach ist t doch [mm] t = \frac{1}{f} [/mm]
Bei der anderen Teilaufgabe muss ich dann bei v die 0,1 m/s einsetzen.
Nur ist das Problem, dass ich nicht weiß, wie man das t aus dem Kosinus rausbekommt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 13.06.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich glaube, dass hier $x(t)$ falsch darsteht:
Zum Zeitpunkt $t=0$ sollte doch der Bolzen brechen und dabei die Auslenkung [mm] $5\,\text{cm}$ [/mm] nach unten sein. D.h. $x(t)$ sollte mit einem [mm] $\cos$ [/mm] gehen, und nicht wie angenommen mit einem [mm] $\sin$, [/mm] da ja [mm] $\sin(0)=0$, [/mm] und man damit $x(t=0) = 0$ und nicht $x(t=0) = [mm] -5\,\text{cm}$. [/mm]
Ansonsten kann man das ganze aber so machen wie du, und dann $v(t)$ wieder durch ableiten berechnen, und dann fordern, dass der [mm] $\sin$ [/mm] maximal ist, da ja $v(t)= [mm] -A\omega \sin(\omega [/mm] t)$ mit $A= [mm] 5\,\text{cm}$. [/mm]
Wenn du bei dir zB die maximale Geschwindigkeit ausrechnen wolltest, dann waere der Zeitpunkt ja bei deiner Loesung auch schon bei $t=0$ gegeben, weil $cos(0) = 1$ ist, und damit schon maximal. Bei $t=0$ faengt die Bruecke aber gerade erst das Schwingen an, so dass $v(t=0) = 0$, da sie ja eher in der Mitte, also bei $x=0$ am schnellsten ist (wie eine ausgelenkte Feder auch, ist ja mathematisch exakt das selbe Problem).
D.h., wenn man das ganze mit $x(t) = - A [mm] \cos(\omega [/mm] t)$ rechnet, muss man jetzt gucken, wo [mm] $\sin(\omega [/mm] t) = 1$, und das ist bei [mm] $\omega [/mm] t = [mm] \frac{\pi}{2}$ [/mm] der Fall (was man mit der Umkehrfunktion des [mm] $\sin$ [/mm] auch haette berechnen koennen).
Wenn man jetzt aber nen anderen Wert gegeben hat, wie zB in deiner einen Aufgabe, dann kann man nach $t$ aufloesen, indem man weiss, dass
[mm] $\cos(x) [/mm] = y [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = [mm] \arccos(y)$ [/mm] ist, wobei [mm] $\arccos$ [/mm] die Umkehrfunktion zum [mm] $\cos$ [/mm] ist, bzw wenn man das so mit dem [mm] $\sin$ [/mm] rechnet, damit $x(0)= [mm] -5\,\text{cm}$ [/mm] ist, nimmt man eben den [mm] $\arcsin$.
[/mm]
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
Danke für deine Antwort.
Ist das jetzt so korrekt?
[mm]
v = \omega * \hat s * \sin(\omega t)
[/mm]
=> [mm]sin (\omega t) = 1 [/mm]
=> [mm] \omega t = \frac{\pi}{2} [/mm]
=> [mm] t \approx 0,4 [/mm]
Zu der anderen Teilaufgabe:
[mm]v = \omega * \hat s * \sin(\omega t)[/mm]
Wie hole ich mit der Umkehrfunktion das t da raus?
(Vllt. so?)
[mm]\omega * t = arcsin(\frac{v}{\omega * \hat s})[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, wenn [mm] $v=A\omega \sin\omega [/mm] t$, wovon wir ausghehen, kommt man ja auf
[mm] $\omega [/mm] t = [mm] \frac{pi}{2} \Rightarrow 2\pi \nu [/mm] t = [mm] \frac{pi}{2} \Rightarrow [/mm] t = [mm] \frac{1}{2\nu}$ [/mm] und mit [mm] $\nu [/mm] = 1/T$ gibt das dann
$t = [mm] \frac{T}{4}$, [/mm] was ja genau einer viertel Periodendauer entspricht, was ja auch Sinn macht. Den wert hab ich nu nich nachgerechnet.
>
> [mm]v = \omega * \hat s * \sin(\omega t)[/mm]
>
> Wie hole ich mit der Umkehrfunktion das t da raus?
> (Vllt. so?)
> [mm]\omega * t = arcsin(\frac{v}{\omega * \hat s})[/mm]
Genau. Denn der [mm] $\arcsin$ [/mm] ist ja die Umkehrfunktion zu [mm] $\sin$, [/mm] d.h. es gilt
[mm] $\arcsin\sin(x) [/mm] = x = [mm] \sin\arcsin(x)$. [/mm] D.h. wenn du auf beiden Seiten den [mm] $\arcsin$ [/mm] anwendest, und das vorher, so wie du umgestellt hast, kommt man auf deine Formel.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | | d) Um welche Strecke wurde der Beobachter 0,6 s nach dem Abreißen nach oben bewegt? |
[mm] s = \hat s * \cos(\omega * t) [/mm]
[mm] s = 0,035 m [/mm]
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nun, wir muessen uns ja hier ueberlegen, wie die Strecke gemeint ist.
Wenn man jetzt zB schaut, welche Strecke der Beobachter nach $t=T$, also einer Periodendauer zurueckgelegt hat, dann wuerde man ja letztendlich auch wieder mit deiner Rechnung auf [mm] $x=-5\,\text{cm}$ [/mm] kommen, was ja so nicht ist. Da muesste man noch etwas aufaddieren etc, weil da ja nach der zurueckgelegten Strecke gefragt ist, und nicht nach der aktuellen $s$-Position.
Da aber jetzt die $0.6$ Sekunden gerade unterhalb der halben Periodendauer ist, kann man mit $x(t)$ arbeiten, da man da jetzt nicht darauf achten muss, dass man schon wieder mindestens [mm] $10\,\text{cm}$ [/mm] von unten nach ganz oben sich bewegt hat.
Gut, seis drum, das sollte nur eine kleine Warnung sein, ich hoffe, das ist so verstaendlich.
Wenn wir uns jetzt aber darauf einigen, dass
$s(t) = [mm] -5\cdot \cos(\omega [/mm] t) [mm] \,\text{cm}$ [/mm] sind, damit [mm] $s(0)=-5\,\text{cm}$ [/mm] ist, weil man (so wuerde ich zumindest rechnen) bei $t=0$ den Bolzen brechen laesst, und man $x=0$ wegen der Schwingung um die Ruhelage als Normallage der Bruecke definieren wuerde.
D.h. ich wuerde dann bei
[mm] $s(t=0.6\,\text{s}) [/mm] = [mm] -5\cdot\cos(2\pi\cdot 0.62\cdot [/mm] 0.6) [mm] \approx 3.47\,\text{cm}$ [/mm] sein. D.h. er waere von $s=-5$ nach $x=3.47$ bewegt worden, was einer Strecke von [mm] $8.47\,\text{cm}$ [/mm] entspricht.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
Vielen Dank für deine Hilfe!
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