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| Aufgabe | | Sei [mm]D=[1,2]x[2,3]x[0,2][/mm] berechnen Sie [mm] \integral_{D}\frac{2z}{(x+y)^2}. [/mm] |
Ich habe die Aufgabe begonnen und habe glaube ich auch den ersten Teil (jedenfalls meiner Meinung nacht) richtig gelöst:
[mm]
\integral_{x=1}^{2}\integral_{y=2}^{3}\integral_{z=0}^{2}\frac{2z}{(x+y)^2}\, dx\, dy\, dz =
\integral_{x=1}^{2}\integral_{y=2}^{3}\frac{z^2}{(x+y)^2}|_{z=0}^{2}\, dx\, dy =
\integral_{x=1}^{2}\integral_{y=2}^{3}\frac{4}{(x+y)^2}-0\, dx\, dy =
\integral_{x=1}^{2}\integral_{y=2}^{3}\frac{4}{(x+y)^2}\, dx\, dy
[/mm]
Nun kommt jetzt mein Problem wie ich nicht weiß wie es weiter geht. In der Musterlösung ist der nächste Schritt:
[mm]
\integral_{x=1}^{2}\integral_{y=2}^{3}\frac{4}{(x+y)^2}\, dx\, dy =
\integral_{x=1}^{2}\frac{-4}{x+y}|_{y=2}^{3}\, dx\, dy
[/mm]
Ich habe gerade irgendwie ein totales Blackout. Ich weiß einfach net wie ich das zweite Integral weiter auflöse. Peinlicht aber wahr :(. Kann mir da jemand von euch evtl. noch mal einen Denkanstoß geben?
Vielen Dank,
Tim
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Sa 15.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tim!
> Nun kommt jetzt mein Problem wie ich nicht weiß wie es
> weiter geht. In der Musterlösung ist der nächste Schritt:
>
> [mm]
\integral_{x=1}^{2}\integral_{y=2}^{3}\frac{4}{(x+y)^2}\, dx\, dy =
\integral_{x=1}^{2}\frac{-4}{x+y}|_{y=2}^{3}\, dx\, dy
[/mm]
>
> Ich habe gerade irgendwie ein totales Blackout. Ich weiß
> einfach net wie ich das zweite Integral weiter auflöse.
Du integrierst doch über y, betrachtest für diese Integration also x wie eine Konstante. Was ist denn die Stammfunktion von
[mm] \bruch{4}{(x+y)^2} = 4*(x+y)^{-2} [/mm]
bzw.
[mm] \bruch{4}{(a+y)^2} = 4*(a+y)^{-2} [/mm]
?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
auch auf die Gefahr hin das ich mich jetzt (wahrscheinlich) so richtig blamiere, komme ich jetzt über die Quotientenregel auf
[mm]\left(\frac{4}{(x+y)^2}\right)'=\frac{4'*(x+y)^2-4*((x+y)^2)'}{((x+y)^2)^2}=\frac{-4*2(x+y)}{(x+y)^4}=\frac{-4}{(x+y)^2}[/mm]
Was mach ich nur immer falsch?
Liebe Grüße,
Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tim!
Im Zähler ergibt doch $-4*2 \ = \ [mm] -\red{8}$ [/mm] .
Und wenn Du den Term $(x+y)_$ kürzt, verbleiben im Nenner von den vorher [mm] $(x+y)^4$ [/mm] noch [mm] $(x+y)^{\red{3}}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
oh ja, sorry, bin wohl noch nicht richtig wach. Das stimmt. Ok, dann ist das Ergebniss ja [mm]\frac{-8}{(x+y)^3}[/mm]. Aber leider weiß ich denn immer noch nicht was ich falsch mache :(. Weil selbst [mm]\frac{-8}{(x+y)^3}[/mm] passt nicht nur Musterlösung der mehrdimensionalen Integration in der ersten Frage :( Ich glaube irgendwie verstehe ich das mit dem festhalten der einen Konstante nicht so.
Viele Grüße,
Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tim,
du suchst doch nicht nach der Ableitung der Funktion, sondern der Stammfunktion. Welche Funktion ergibt beim Ableiten
[mm]4(x+y)^{-2}[/mm] ?
Du könntest das Integral zum Beispiel durch Substitution [mm]u=y+x[/mm] berechnen:
[mm]\integral \bruch{4}{(x+y)^2} dy = \integral \bruch{4}{u^2} du = -\bruch{4}{u} +C = - \bruch{4}{x+y} +C[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
autsch. Verdammt war ich verbacken! Ich habe die ganze Zeit falsch gedacht. Klar jetzt ist es auch logisch. Vielen Dank für deine Mühen mir den Stoff näher zu bringen :).
Vlg,
Tim
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