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| Aufgabe | | Auf einem Tisch liegen zwei Münzen. Eine ist gezinkt und zeigt nach einem Wurf in drei von vier Fällen "Kopf". Die andere ist fair, zeigt also mit gleicher Wahrscheinlichkeit "Kopf" oder "Zahl". Sie wählen zufällig eine der Münzen und werfen sie in die Luft. |
Fortsetzung der Aufgabenstellung:
(a) Fertigen Sie ein Baumdiagramm und ein dazu umgekehrtes Baumdiagramm zu dieser Situation an.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die von Ihnen geworfene Münze "Kopf" zeigt?
(c) Die Münze zeigt "Zahl". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um die gezinkte Münze handelt?
Lösung:
k = "Kopf", z = "Zahl". M1 = gezinkte Münze, M2 = faire Münze.
(a) Ich möchte mir die Mühe ersparen, hier den Baum und den inversen Baum wiederzugeben.
(b) P(k) = [mm] \bruch{5}{8} [/mm] (abgelesen vom inversen Baum)
(c) Hier weiß ich nicht, was richtig ist: P(z|M1) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] oder
P(M1|z) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Es geht mir hier nicht um den Zahlenwert, sondern die Wahl zwischen P(z|M1) oder P(M1|z).
Vielleicht könntest du mir auch einen Hinweis geben, wie ich zu der richtigen Entscheidung komme.
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| Aufgabe | | Auf einem Tisch liegen zwei Münzen. Eine ist gezinkt und zeigt nach einem Wurf in drei von vier Fällen "Kopf". Die andere ist fair, zeigt also mit gleicher Wahrscheinlichkeit "Kopf" oder "Zahl". Sie wählen zufällig eine der Münzen und werfen sie in die Luft. |
Fortsetzung der Aufgabe:
(d) Geben Sie zu diesem Zufallsexperiment einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum an.
Lösung:
Ich weiß nicht, wie ich das lösen soll. Es gab vorher eine Aufgabe mit Frage nach geeignetem Wahrscheinlichkeitsraum:
Ein fairer Würfel wird so lange geworfen, bis
(a) erstmalig eine Eins fällt
(b) erstmalig eine Fünf oder Sechs fällt.
Formalisieren Sie diese beiden stochastischen Situationen jeweils durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Orientieren Sie sich dabei am Vorgehen in der Vorlesung.
Lösung (a): [mm] p_{i} [/mm] = [mm] (\bruch{5}{6})_{i-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} p_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{5}{6})_{i-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} =\bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{5}{6})_{i} [/mm] = (geometrische Reihe) [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1-\bruch{5}{6}} [/mm] = ... = 1 das ist nachvollziehbar,
für die neue Aufgabe habe ich jedoch leider keine Lösungsidee.
Kann mir da jemand eine Lösung zeigen und erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mi 05.03.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathemurmel,
ich versuche mich mal an dieser zweiten Teilaufgabe und hoffe, dass sich die Begriffe in den letzten 43 Jahren nicht allzusehr geändert haben.
In einem Wahrscheinlichkeitsraum sind drei Größen zusammengefasst, die Ergebnismenge H, das Ereignisfeld E und das Wahrscheinlichkeitsmaß P. Häufig findet man keine dedizierte Aussage über P, da man einfach davon ausgeht, dass die uns bekannten Regeln für die Wahrscheinlichkeitsbestimmung gelten. Dazu gehören als wichtigste Axiome die Aussage, dass die Auftretenswahrscheinlichkeit eines Ereignisses größer gleich Null ist, dass die Auftretenswahrscheinlichkeit über das sogenannte sichere Ereignis gleich 1 ist und dass die Auftretenswahrscheinlichkeit für eines von zwei Ereignissen A oder B gleich der Summe der Aufteretenswahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse ist.
Die Ergebnismenge H beschreibt die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments und damit hängt die Beschreibung dieser Menge, - die auch durchaus per Text erfolgen kann -, von der Stellung der Aufgabe ab. Bei Deiner Aufgabe sind die Ereignisse gerade die vier, ich nenne sie mal so, Basisereignisse, die Du auch schon beschrieben hast, so dass man sinnvollerweise sagt:
H= {k,z,M1,M2}
Was ist nun mit dem Ereignisfeld E los? Dieses enthält meßbare Teilmengen der Ergebnismenge H.Dieser Begriff ist zwar nicht verkehrt, führt aber gerne in eine nicht komplette Denkrichtung, denn zu solch einer Teilmenge gehört auch die Potenzmenge der Elemente aus der Ergebnismenge. Bei Deiner Aufgabe wäre also eine mögliche Ergebnismenge E ={ {M1,z}, {M1,k} }, da die Aufgabenstellung ja um das Verhalten beim Werfen einer gezinkten Münze ging.
Für die Aufgabe mit dem Würfel bietet es sich natürlich an, die Augenzahl des Würfels zur Beschreibung hernzuziehen.
H = {1,2,3,4,5,6}
Bei der Beschreibung der Ergebnismenge wird die Sache nun etwas komplizierter, denn Du kannst unmöglich alle möglichen Teilmengen aufschreiben. die, für den ersten Fall, mit einer 1 enden. Welche Art der Beschreibung in der Vorlesung dafür genommen wurde, das solltest Du nochmal nachschlagen. Wir Ingenieure, zu denen ich ja auch zähle, haben es uns da einfach gemacht, indem eine textliche Beschreibung in die Beschreibung dieser Menge mit aufgenommen wurde.
Für Deinen Fall könnte man schreiben:
E={endliche Folge von Würfelergebnissen mit dem Ergebnis 2,3,4,5, oder 6, Auftreten einer 1} bzw.
E={endliche Folge von Würfelergebnissen mit dem Ereignis 1, 2, 3, oder 4, Auftreten einer 5 oder einer 6}
Damit hast Du für den zweiten Teil der Aufgabe einen ganz ähnlichen Ausdruck für die Auftretenswahrscheinlichkeit, jetzt aber mit den Faktoren 2/3 und 1/3.
Viele Grüße aus Südhessen sendet
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Di 04.03.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathemurmel,
über den Wahrscheinlichkeitsbaum brauchen wir hier nicht zu reden. Das Ergebnis der a) ist auch okay und Du kannst es Dir auch so herleiten:
Mit Deinen Bezeichnungen hast Du doch
P(z|M1)=1/4 P(k|M1) = 3/4 P(z|M2)=P(k|M2)=1/2
Sowohl die faire wie auch die gezinkte Münze erlaubt nur jeweils eins von zwei Ergebnissen, und damit kommst Du auf
[mm] P(k)= \bruch{3}{4} \cdot \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2} \cdot \bruch{1}{2} = \bruch{5}{8} [/mm]
Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten, wie sie in der d) auftreten, sollte man sich klar machen, was mit dem Ausdruck P(A|B) gemeint ist. Du suchst die Whrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B eintritt. Dein Ereignis A ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um die gezinkte Münze handelt unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B, die "Zahl" eintritt. Damit ist dann Dein P(M1|z) die gesuchte Größe.
Viele Grüße,
Infinit
(der jetzt erst mal auf die Fastnacht muss)
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