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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich habe folgende Aufgabe:
Es seien A und B Teilmengen einer Menge M. Man zeige folgende Äquivalenz:
(a) A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] nichtB [mm] \gdw [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] nichtA
(b) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cup [/mm] B =B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A
Wie zeige ich nun aber die Äquivalenz? Wir hatten das bis jetzt in der Vorlesung und Übung noch nicht aber sollen es bis Dienstag abgeben. Angäblich müssen wir das von der Schule her können. Naja.
Würde mich sehr freuen, wenn mir da jemand helfen könnte!
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> Es seien A und B Teilmengen einer Menge M. Man zeige
> folgende Äquivalenz:
> (a) A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset \gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] nichtB [mm]\gdw[/mm] B
> [mm]\subseteq[/mm] nichtA
> (b) A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cup[/mm] B =B [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cap[/mm] B = A
Hallo, mit "nicht A" meinst Du wohl das Komplement von A. Also [mm] A^c=M \A
[/mm]
> Wie zeige ich nun aber die Äquivalenz?
Aber Deine Frage zielt ja, wenn ich es recht verstehe, weniger auf den Inhalt, als auf das "Wie".
Wenn Du die Äquivalenz von Aussagen zeigen willst, also (x) <==> (y),
so mußt Du beide Richtungen zeigen, (x) ==> (y) und (y) ==> (x).
Für Deine Aufgabe a) hast Du also 4 Teilaussagen zu beweisen.
Du kannst es Dir allerdings etwas verkürzen, indem Du zeigst
Aussage1 ==> Aussage2, Aussage2 ==> Aussage 3, Aussage3 ==> Aussage1. Ein Ringschluß.
(Überleg Dir, daß Du dann wirklich alles gezeigt hast.)
Gruß v. Angela
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Hi!
Danke für deine Antwort.
Dass ich das auf die Weise Aussage1==>Aussage2==>..... zeigen muss habe ich ja auch schon in Büchern gelesen aber mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das machen muss.?
Könntest du mir das evtl. mal an Aussage1==>Aussage2 erläutern oder so?
Wäre echt super!
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 30.10.2005 | | Autor: | slash |
Hallo,
versuche es doch einmal mit den logischen Aussagen und Verknüpfungen.
A [mm] \Rightarrow [/mm] B ist dann richtig,
wenn
A richtig B richtig
A falsch B richtig
A falsch B falsch.
Kopf hoch,
slash
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> Hi!
> Danke für deine Antwort.
> Dass ich das auf die Weise Aussage1==>Aussage2==>.....
> zeigen muss habe ich ja auch schon in Büchern gelesen aber
> mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das machen
> muss.?
> Könntest du mir das evtl. mal an Aussage1==>Aussage2
> erläutern oder so?
Ah, also doch eher ein inhaltliches Problem.
Gut. ich zeig Dir mal
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] ==> A [mm] \subseteq [/mm] (M \ B)
Vorausgesetzt ist, daß A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] gilt.
Zeigen möchte ich: A [mm] \subseteq [/mm] (M \ B).
Dazu muß ich zeigen, daß jedes Element von A auch in M \ B liegt, denn das ist ja gerade das, was die Teilmengenbeziehung aussagt.
Und weil dies mein Ziel ist, beginne ich mit
Sei x [mm] \in [/mm] A .
Weil n.V. A $ [mm] \cap [/mm] $ B = $ [mm] \emptyset [/mm] gilt, folgt
x [mm] \not\in [/mm] B.
==> x [mm] \in [/mm] M \ B
Also ist A [mm] \subseteq [/mm] (M \ B)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 So 30.10.2005 | | Autor: | AriR |
Hey Leute, wie kann ich zB beweisen dass,
A [mm] \subset [/mm] B äquivalent ist zu
A /cap B = A
wobei A,B [mm] \subset [/mm] X
ich hab mir gedacht, dass ich aus A [mm] \subset [/mm] B folger: xA [mm] \Rightarrow [/mm] xB
und das ist ja äquivalent zu A /cap B = A, ich weiß jetzt aber nicht, ob das jetzt ein koreckter beweis ist. Woher weiß man überhaupt, ob ein beweis gültig ist zB an dem Beispiel
Ich hab die Frage in keinem weitern Forum etc gestellt.
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Hallo,
ich zeig Dir mal, wie
A [mm] \subseteq [/mm] B ==> A [mm] \cap [/mm] B =A geht.
Bew.:
Seien A,B [mm] \subseteq [/mm] X mit A [mm] \subseteq [/mm] B.
[Das sind die Voraussetzunge, über die sollte man sich immer genau im Klaren sein.]
[Als nächstes ist das Ziel festzustellen. Damit man nicht planlos irgendwas tut. Hier lautet das Ziel A [mm] \cap [/mm] B =A. Also eine Gleichheit von Mengen. Das bedeutet, es ist zu zeigen, daß 1. A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A ist und 2. A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B]
z.Z.
1. A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A.
Das ist sofort klar aufgrund der Definition der Schnittmenge.
2. A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
Sei x [mm] \in [/mm] A.
Wegen A [mm] \subseteq [/mm] B folgt x [mm] \in [/mm] B.
Also ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B
==> x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
Somit ist A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B, was zu beweisen war.
Ich hoffe, Dir hiermit gezeigt zu haben, wie man Deine richtigen Gedanken aufschreibt. Mit zwingender Logik.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Di 01.11.2005 | | Autor: | AriR |
ja hast du vielen danke..
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