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| Aufgabe | Eine Menge M Teilmenge [mm] \IR^n [/mm] soll so ausgewählt werden, dass
(i) M, Mº, M¯
(ii) M, Mº, M¯, Mº¯, M¯º
(iii) M, Mº, M¯, Mº¯, M¯º,Mº¯º, M¯º¯
sich paarweise unterscheiden. |
Ich hoffe man kann die Aufgabenstellung lesen, ich habe es nicht hinbekommen, die Zeichen oberhalb der Mengen zu schreiben.
Hab ich das richtig verstanden, dass der Kreis die Menge der inneren Punkte darstellt, also die Offenheit, wohin gegen der Strich über der Menge für eine abgeschlossene Menge steht?
Sei zum Beispiel [0,3)
die 3 ist abgeschlossen, aber gehört nicht zu M. 0 gehört zwar zu M, ist aber kein innerer Punkt, also
M=[0,3) Mº=(0,3) M¯=[0,3]
stimmt das bis dahin?
Ich habe gehört, dass man isolierte Punkte mit einbauen kann oder naheliegende disjunkte Intervalle um die Aufgabenstellung ii) und iii) zu lösen. Meine Fragen dazu:
Ist ein isolierter Punkt ein abgeschlossener oder innerer Punkt?!
Ich verstehe leider in der Aufgabenstellung schon nicht, was es bedeutet wenn eine Menge M¯º ist.
Heißt das abgeschlossen und offen?! Wir zum Beispiel die Menge der diskreten Metrik? Wo liegt der Unterschied zwischen M¯º und Mº¯ ?
Wäre nett wenn mir jemand helfen kann =)
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> Eine Menge M Teilmenge [mm]\IR^n[/mm] soll so ausgewählt werden,
> dass
> (i) M, Mº, M¯
> (ii) M, Mº, M¯, Mº¯, M¯º
> (iii) M, Mº, M¯, Mº¯, M¯º,Mº¯º, M¯º¯
>
> sich paarweise unterscheiden.
> Ich hoffe man kann die Aufgabenstellung lesen, ich habe es
> nicht hinbekommen, die Zeichen oberhalb der Mengen zu
> schreiben.
>
> Hab ich das richtig verstanden, dass der Kreis die Menge
> der inneren Punkte darstellt, also die Offenheit, wohin
> gegen der Strich über der Menge für eine abgeschlossene
> Menge steht?
Nicht für eine abgeschlossene Menge, sondern für den Abschluss einer Menge und der Kringel steht eben für den inneren Kern. Ersteres ist das Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die eine Menge M enthalten, zweiteres die Vereinigung aller offenen Teilmengen. Btw. wäre es schöner [mm] \mathring{M} [/mm] bzw. [mm] \overline{M} [/mm] zu schreiben. ( Backslash mathring bzw. overline und dann in geschweiften Klammern M)
> Sei zum Beispiel [0,3)
> die 3 ist abgeschlossen, aber gehört nicht zu M. 0
> gehört zwar zu M, ist aber kein innerer Punkt, also
> M=[0,3) Mº=(0,3) M¯=[0,3]
>
> stimmt das bis dahin?
Ja, das wäre für n=1 was für den ersten Fall.
> Ich habe gehört, dass man isolierte Punkte mit einbauen
Ja, das ist auf jeden Fall hilfreich. Für den ersten allgemeinen Fall reicht ein offener Ball mit einem isolierten Punkt.
> kann oder naheliegende disjunkte Intervalle um die
> Aufgabenstellung ii) und iii) zu lösen. Meine Fragen
> dazu:
> Ist ein isolierter Punkt ein abgeschlossener oder innerer
> Punkt?!
Ein isolierter Punkt ist immer abgeschlossen, aber niemals innerer Punkt. Ist x ein isolierter Punkt einer Menge M, so müsste man eine ganz in M gelegene offene Menge U finden, die x beinhaltet. Damit aber gäbe es ein [mm] \varepsilon>0, [/mm] sodass [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] U [mm] \subset [/mm] M im Widerspruch zur Isoliertheit.
> Ich verstehe leider in der Aufgabenstellung schon nicht,
> was es bedeutet wenn eine Menge M¯º ist.
> Heißt das abgeschlossen und offen?! Wir zum Beispiel die
Nein, das heißt nur offen, das innerere des Abschlusses.
> Menge der diskreten Metrik? Wo liegt der Unterschied
> zwischen M¯º und Mº¯ ?
Erstere Menge ist offen, zweitere abgeschlossen. Es ist ein Unterschied, ob man erst guckt, was drin ist und dann abschließt oder erst abschließt und guckt, was dann drin ist.
Beispiel: Nehm einen offenen Ball. Dann sind die inneren Punkte des Abschlusses wieder der offene Ball. Aber der Abschluss der inneren Punkte (also der Abschluss der Menge selbst) ist der abgeschlossene Ball.
Anderes Beispiel: Nehme [mm] \IQ [/mm] als Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Dann ist [mm] \mathring{\overline{\IQ}}=\IR [/mm] und [mm] \overline{\mathring{\IQ}}=\emptyset [/mm]
Übrigens ist es sicherlich hilfreich so ein abzählbar dichtes (in einer Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] wie zum Beispiel einem Quader) Teil als Teil von M zu nehmen.
>
> Wäre nett wenn mir jemand helfen kann =)
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> > Hab ich das richtig verstanden, dass der Kreis die Menge
> > der inneren Punkte darstellt, also die Offenheit, wohin
> > gegen der Strich über der Menge für eine abgeschlossene
> > Menge steht?
> Nicht für eine abgeschlossene Menge, sondern für den
> Abschluss einer Menge und der Kringel steht eben für den
> inneren Kern. Ersteres ist das Schnitt aller
> abgeschlossenen Mengen, die eine Menge M enthalten,
> zweiteres die Vereinigung aller offenen Teilmengen. Btw.
> wäre es schöner [mm]\mathring{M}[/mm] bzw. [mm]\overline{M}[/mm] zu
> schreiben. ( Backslash mathring bzw. overline und dann in
> geschweiften Klammern M)
Danke =)
> > Sei zum Beispiel [0,3)
> > die 3 ist abgeschlossen, aber gehört nicht zu M. 0
> > gehört zwar zu M, ist aber kein innerer Punkt, also
> > M=[0,3) Mº=(0,3) M¯=[0,3]
> >
> > stimmt das bis dahin?
> Ja, das wäre für n=1 was für den ersten Fall.
> > Ich habe gehört, dass man isolierte Punkte mit einbauen
> Ja, das ist auf jeden Fall hilfreich. Für den ersten
> allgemeinen Fall reicht ein offener Ball mit einem
> isolierten Punkt.
> > kann oder naheliegende disjunkte Intervalle um die
> > Aufgabenstellung ii) und iii) zu lösen. Meine Fragen
> > dazu:
> > Ist ein isolierter Punkt ein abgeschlossener oder
> innerer
> > Punkt?!
> Ein isolierter Punkt ist immer abgeschlossen, aber niemals
> innerer Punkt. Ist x ein isolierter Punkt einer Menge M, so
> müsste man eine ganz in M gelegene offene Menge U finden,
> die x beinhaltet. Damit aber gäbe es ein [mm]\varepsilon>0,[/mm]
> sodass [mm]B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] U [mm]\subset[/mm] M im
> Widerspruch zur Isoliertheit.
ok, verstanden.
> > Ich verstehe leider in der Aufgabenstellung schon nicht,
> > was es bedeutet wenn eine Menge M¯º ist.
> > Heißt das abgeschlossen und offen?! Wir zum Beispiel die
> Nein, das heißt nur offen, das innerere des Abschlusses.
> > Menge der diskreten Metrik? Wo liegt der Unterschied
> > zwischen M¯º und Mº¯ ?
> Erstere Menge ist offen, zweitere abgeschlossen. Es ist
> ein Unterschied, ob man erst guckt, was drin ist und dann
> abschließt oder erst abschließt und guckt, was dann drin
> ist.
ok gute Erklärung, wie würde man dann [mm]\mathring{\overline{\mathring{M}}}[/mm] definieren?
erst guckt man, was drin ist, dann schließt man ab und dann schaut man wieder was drin ist? Also wäre es wieder eine offene Menge?
> Beispiel: Nehm einen offenen Ball. Dann sind die inneren
> Punkte des Abschlusses wieder der offene Ball. Aber der
> Abschluss der inneren Punkte (also der Abschluss der Menge
> selbst) ist der abgeschlossene Ball.
> Anderes Beispiel: Nehme [mm]\IQ[/mm] als Teilmenge von [mm]\IR.[/mm] Dann ist
> [mm]\mathring{\overline{\IQ}}=\IR[/mm] und
> [mm]\overline{\mathring{\IQ}}=\emptyset[/mm]
Also wäre dann bei Aufgabenstellung
ii) und für den isolierten Punkt {5} [mm] M=[0,3)\cup \{{5}},[/mm] [mm]\mathring{M}[/mm] wie in i) und [mm]\overline{M}[/mm]=[0,3] [mm] \cup \{{5}} [/mm] und [mm]\mathring{\overline{M}}[/mm] wäre dann [0,3] und [mm]\overline{\mathring{M}}[/mm] wäre [mm] (0,3)\cup \{{5}}?
[/mm]
>
> Übrigens ist es sicherlich hilfreich so ein abzählbar
> dichtes (in einer Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] wie zum Beispiel einem
> Quader) Teil als Teil von M zu nehmen.
> >
> > Wäre nett wenn mir jemand helfen kann =)
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:55 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok gute Erklärung, wie würde man dann
> [mm]\mathring{\overline{\mathring{M}}}[/mm] definieren?
das Ding würde man nicht mehr definieren, denn das Ding ist mit den Operationen
definiert:
Erst bildest Du von [mm] $M\,$ [/mm] den inneren Kern, dann schließt Du diesen inneren
Kern ab, und von dem Abschluss nimmst Du wieder den inneren Kern.
Beispiel:
Sei [mm] $K:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 \le x < 1,\;\; 0 \le y \le 1\} \cup \{(x,y) \in \IR^2:\;\;1 < x \le 2, \;\;0 \le y < 1\}$
[/mm]
(Kannst Du diese Menge grob beschreiben?)
Dann ist
[mm] $$\mathring{K}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 < x < 1,\;\; 0 < y < 1\} \cup \{(x,y) \in \IR^2:\;\;1 < x < 2, \;\;0 < y < 1\}\,.$$
[/mm]
(Beschreibung?)
Weiter
[mm] $$\overline{\mathring{K}}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 \le x \le 1,\;\; 0 \le y \le 1\} \cup \{(x,y) \in \IR^2:\;\;1 \le x \le 2, \;\;0 \le y \le 1\}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 \le x \le 2,\;\;0 \le y \le 1\}\,.$$
[/mm]
(Beschreibung?)
Was ist nun
[mm] $\mathring{\overline{\mathring{K}}}$?
[/mm]
(Beschreibung?)
Gruß,
Marcel
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> das Ding würde man nicht mehr definieren, denn das Ding
> ist mit den Operationen
> definiert:
> Erst bildest Du von [mm]M\,[/mm] den inneren Kern, dann schließt
> Du diesen inneren
> Kern ab, und von dem Abschluss nimmst Du wieder den
> inneren Kern.
>
> Beispiel:
> Sei [mm]K:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 \le x < 1,\;\; 0 \le y \le 1\} \cup \{(x,y) \in \iR^2:\;\;1 < x \le 2, \;\;0 \le y < 1\}[/mm]
>
> (Kannst Du diese Menge grob beschreiben?)
Wir haben es mit einer Menge zu tun, deren x Wert in [mm] \IR^2 [/mm] zwischen Null und 1 liegt, wobei die Null mit eingeschlossen wird und deren y Wert zwischen Null und 1 liegt, wobei auch 0 und 1 als Werte angenommen werden können. Man vereinigt diese Menge mit x für die gilt, dass x zwischen 1 und 2 liegt (wobei der Wert 2 auch angenommen werden kann) und y zwischen 0 und 1 (wobei 0 aber nicht die 1 für y angenommen werden kann) was bedeutet [mm] \in^2 [/mm] ?
>
> Dann ist
> [mm]\mathring{K}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 < x < 1,\;\; 0 < y < 1\} \cup \{(x,y) \in \iR^2:\;\;1 < x < 2, \;\;0 < y < 1\}\,.[/mm]
>
> (Beschreibung?)
die Menge aller inneren Punkte (deshalb entfällt das Gleichheitszeichen)
>
> Weiter
> [mm]\overline{\mathring{K}}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 \le x \le 1,\;\; 0 \le y \le 1\} \cup \{(x,y) \in \iR^2:\;\;1 \le x \le 2, \;\;0 \le y \le 1\}=\{(x,y) \in \iR^2:\;\;0 \le x \le 2,\;\;0 \le y \le 1\}\,.[/mm]
>
> (Beschreibung?)
die Menge der inneren Punkte, die man dann abschließt. Das heißt wir schauen uns die Menge von [mm] \mathring{K} [/mm] an und schließen diese ab. Vereinfachend können wir jetzt [mm] \{(x,y) \in \iR^2:\;\;0 \le x \le 2,\;\;0 \le y \le 1\}\, [/mm] schreiben
>
> Was ist nun
>
> [mm]\mathring{\overline{\mathring{K}}}[/mm]?
das wäre doch jetzt 0<x<2, 0<y<1
Wir betrachten nämlich [mm]\overline{\mathring{K}}[/mm] und bilden davon die innere Menge, richtig?!
Wenn wir [mm]\overline{K}[/mm] bilden wollen, wäre das in dem Fall doch identisch zu [mm]\overline{\mathring{K}}[/mm] , oder?
> (Beschreibung?)
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:47 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
ich antworte Dir morgen im Verlauf des Tages, wenn ich die Zeit finde und
sich zwischenzeitlich keiner meldet. Nebenbei: Du kannst Du Mengen
ziemlich gut mit "geometrischen Gebilden" beschreiben!
>
> > das Ding würde man nicht mehr definieren, denn das Ding
> > ist mit den Operationen
> > definiert:
> > Erst bildest Du von [mm]M\,[/mm] den inneren Kern, dann
> schließt
> > Du diesen inneren
> > Kern ab, und von dem Abschluss nimmst Du wieder den
> > inneren Kern.
> >
> > Beispiel:
> > Sei [mm]K:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 \le x < 1,\;\; 0 \le y \le 1\} \cup \{(x,y) \in \iR^2:\;\;1 < x \le 2, \;\;0 \le y < 1\}[/mm]
>
> >
> > (Kannst Du diese Menge grob beschreiben?)
> Wir haben es mit einer Menge zu tun, deren x Wert in [mm]\IR^2[/mm]
> zwischen Null und 1 liegt, wobei die Null mit
> eingeschlossen wird und deren y Wert zwischen Null und 1
> liegt, wobei auch 0 und 1 als Werte angenommen werden
> können. Man vereinigt diese Menge mit x für die gilt,
> dass x zwischen 1 und 2 liegt (wobei der Wert 2 auch
> angenommen werden kann) und y zwischen 0 und 1 (wobei 0
> aber nicht die 1 für y angenommen werden kann)
> was bedeutet [mm]\in^2[/mm] ?
Klick auf die Formel (oder halte den Mauszeiger drauf): Das bedeutet hier,
dass ich anstatt $\IR^2$ leider $\iR^2$ geschrieben hatte, so dass das
[mm] $\IR$ [/mm] nicht sichtbar ist...
Ich korrigier's!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > das Ding würde man nicht mehr definieren, denn das Ding
> > ist mit den Operationen
> > definiert:
> > Erst bildest Du von [mm]M\,[/mm] den inneren Kern, dann
> schließt
> > Du diesen inneren
> > Kern ab, und von dem Abschluss nimmst Du wieder den
> > inneren Kern.
> >
> > Beispiel:
> > Sei [mm]K:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 \le x < 1,\;\; 0 \le y \le 1\} \cup \{(x,y) \in \iR^2:\;\;1 < x \le 2, \;\;0 \le y < 1\}[/mm]
>
> >
> > (Kannst Du diese Menge grob beschreiben?)
> Wir haben es mit einer Menge zu tun, deren x Wert in [mm]\IR^2[/mm]
> zwischen Null und 1 liegt, wobei die Null mit
> eingeschlossen wird und deren y Wert zwischen Null und 1
> liegt, wobei auch 0 und 1 als Werte angenommen werden
> können. Man vereinigt diese Menge mit x für die gilt,
> dass x zwischen 1 und 2 liegt (wobei der Wert 2 auch
> angenommen werden kann) und y zwischen 0 und 1 (wobei 0
> aber nicht die 1 für y angenommen werden kann) was
> bedeutet [mm]\in^2[/mm] ?
das ist nur Wiedergabe der Definition. Die Menge ist folgende:
Nimm' das Rechteck mit Endpunkten [mm] $(0,0),\;(2,0),\;(2,1),\;(0,1)\,$ [/mm] inklusive
der Randlinien, also das abgeschlossene Rechteck (die abgeschlossene
Rechteckfläche!), und entferne aus diesem Rechteck die Strecken [mm] $\overline{(1,0),\;(1,1)}$
[/mm]
und [mm] $\overline{(1,1),\;(2,1)}$! [/mm] (Skizze!)
> > Dann ist
> > [mm]\mathring{K}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 < x < 1,\;\; 0 < y < 1\} \cup \{(x,y) \in \iR^2:\;\;1 < x < 2, \;\;0 < y < 1\}\,.[/mm]
>
> >
> > (Beschreibung?)
> die Menge aller inneren Punkte
Ja klar: Das ist die Definition des inneren Kerns!
> (deshalb entfällt das Gleichheitszeichen)
Das macht man intuitiv richtig so, aber man sollte es auch beweisen können!
Der Punkt ist: Der innere Kern der Ausgangsmenge ist "die zugehörige
offene Rechteckfläche ohne die Punkte der Strecke [mm] $\overline{(1,0),\;(1,1)}$!
[/mm]
> > Weiter
> > [mm]\overline{\mathring{K}}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;0 \le x \le 1,\;\; 0 \le y \le 1\} \cup \{(x,y) \in \iR^2:\;\;1 \le x \le 2, \;\;0 \le y \le 1\}=\{(x,y) \in \iR^2:\;\;0 \le x \le 2,\;\;0 \le y \le 1\}\,.[/mm]
>
> >
> > (Beschreibung?)
> die Menge der inneren Punkte, die man dann abschließt.
Es geht mir doch nicht drum, dass Du die Operationen beschreibst. Beschreibe
die geometrischen Objekte möglichst gut mit Worten. Das ist also die
abgeschlossene Rechteckfläche mit den ganz oben genannten Eckpunkten!
> Das heißt wir schauen uns die Menge von [mm]\mathring{K}[/mm] an
> und schließen diese ab. Vereinfachend können wir jetzt
> [mm]\{(x,y) \in \iR^2:\;\;0 \le x \le 2,\;\;0 \le y \le 1\}\,[/mm]
> schreiben
> >
> > Was ist nun
> >
> > [mm]\mathring{\overline{\mathring{K}}}[/mm]?
>
> das wäre doch jetzt 0<x<2, 0<y<1
Ja, die Menge aller [mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit $0 < x < [mm] 2\,$ [/mm] und $0 < y < [mm] 1\,.$ [/mm] Das ist jetzt
also WIRKLICH die offene Rechteckfläche mit obigen Eckpunkten!
> Wir betrachten nämlich [mm]\overline{\mathring{K}}[/mm] und
> bilden davon die innere Menge, richtig?!
>
> Wenn wir [mm]\overline{K}[/mm] bilden wollen, wäre das in dem Fall
> doch identisch zu [mm]\overline{\mathring{K}}[/mm] , oder?
> > (Beschreibung?)
Ja, hier wäre [mm] $\overline{K}=\overline{\mathring{K}}=\overline{\mathring{\overline{\mathring{K}}}}\,.$ [/mm] Und Bilder/Skizzen sagen hier mehr als tausend
Worte! (D.h. skizziere Dir mal alle Mengen!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:39 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine Menge M Teilmenge [mm]\IR^n[/mm] soll so ausgewählt werden,
> dass
> (i) M, Mº, M¯
> (ii) M, Mº, M¯, Mº¯, M¯º
> (iii) M, Mº, M¯, Mº¯, M¯º,Mº¯º, M¯º¯
>
> sich paarweise unterscheiden.
ist das wirklich die Aufgabenstellung? Die ist doch, um's mal nett zu sagen,
wenig durchdacht: Wenn ich eine Menge $M [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] finde, die (iii)
erfüllt, so erfüllt diese auch (i) und (ii).
Ich hoffe mal, dass der einzige Grund dieses Aufteilens ist, dass es auf (i)
vielleicht 2,5 Punkte, auf (ii) 1 Punkt und auf (iii) dann 0,5 Punkte gibt. Das
hieße: Löst jemand nur 1, bekommt er 2,5 Punkt, löst jemand direkt (ii), so
bekommt er 3,5 Punkte...
Gruß,
Marcel
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