Mengenabbildung von Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Hulpi |
| Aufgabe | Eine Abbildung $f: M [mm] \to [/mm] N$ induziert Mengenabbildungen
[mm] $\tilde{f}: \mathcal{P}(M) \to \mathcal{P}(N), \tilde{f}^{-1}: \mathcal{P}(N) \to \mathcal{P}(M)$
[/mm]
indem man für [mm] $A\subseteq [/mm] M$ und [mm] $E\subseteq [/mm] N$ definiert:
[mm] $\tilde{f}(A):=\{f(a):a \in A\}, \tilde{f}^{-1}(E)=\{a\in A: f(a) \in E\}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] $\tilde{f}(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] ( [mm] \tilde{f}(A)\cap \tilde{f}(B)), [/mm] \ [mm] A,B\subseteq [/mm] M$
Geben Die auch ein Beispiel, wo ersteres von zweiterem nur eine Teilmenge ist. |
Ich hoffe ihr könnt meine unmathematische Schreibweise lesen, ich weiß leider nicht wie ich besser darstellen soll =S.
Ich bin im ersten Semester Mathematik und komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter.
Es gibt zu dieser Aufagabe einen Teil a), der aber wenig mit dieser Aufgabe zu tun, also es sind getrennte Aufgaben und da ich Ihn schon gelöst habe, denke ich das er keine Relevanz für die Frage hat.
Meines Erachtens sind sowohl die rechte als auch die linke Seite gleich. Ich habe den jeweiligen Mengen Elemente zugeornet und diese eingesetzt. Da aber die Aussage beinhaltet, dass die linke Seite auch nur Teilmenge von rechts sein kann bin ich nun etwas verwirrt.
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen =).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Bitte verwende mathematische Zeichen, so wird man dir sicher schneller helfen.
https://matheraum.de/mm
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dieses Mal hat als kleines Begrüßungsgeschenk schachuzipus der Gute Deinen Artikel bearbeitet.
Beachte aber in Zukunft bitte die Eingabehilfen für Formeln, welche Du unterhalb des Eingabefensters findest, hast Du Formelprobleme, die Du damit nicht lösen kannst, hilft meist Lyrns Tip weiter.
> Eine Abbildung [mm]f: M \to N[/mm] induziert Mengenabbildungen
> [mm]\tilde{f}: \mathcal{P}(M) \to \mathcal{P}(N), \tilde{f}^{-1}: \mathcal{P}(N) \to \mathcal{P}(M)[/mm]
>
> indem man für [mm]A\subseteq M[/mm] und [mm]E\subseteq N[/mm] definiert:
>
> [mm]\tilde{f}(A):=\{f(a):a \in A\}, \tilde{f}^{-1}(E)=\{a\in A: f(a) \in E\}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\tilde{f}(A\cap B) \subseteq ( \tilde{f}(A)\cap \tilde{f}(B)), \ A,B\subseteq M[/mm]
>
> Geben Die auch ein Beispiel, wo ersteres von zweiterem nur
> eine Teilmenge ist.
> Es gibt zu dieser Aufagabe einen Teil a), der aber wenig
> mit dieser Aufgabe zu tun, also es sind getrennte Aufgaben
> und da ich Ihn schon gelöst habe, denke ich das er keine
> Relevanz für die Frage hat.
Es ist kein Fehler, vorhergehende Aufgabenteile mit anzugeben, der Zusammenhang wird oftmals erst beim Lösen nachfolgender Aufgaben klar - und gelegentlich gibt's keinen Zusammenhang.
> Meines Erachtens sind sowohl die rechte als auch die linke
> Seite gleich.
Dich interessiert im Moment also nicht die Hauptaufgabe, der Beweis der Aussage, sondern Du möchtest hier ein Beispiel suchen, bei welchem die beiden Mengen nicht gleich sind.
> Ich habe den jeweiligen Mengen Elemente
> zugeornet und diese eingesetzt. Da aber die Aussage
> beinhaltet, dass die linke Seite auch nur Teilmenge von
> rechts sein kann bin ich nun etwas verwirrt.
> Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen =).
Wir könnten Dir besser weiterhelfen, würdest Du uns nicht Deine Story erzählen, sondern mal ganz konkret Dein Beispiel mit Deinen Überlegungen hier vorstellen.
Ich geb' Dir ein Beispiel.
Wir betrachten
[mm] f:{1,2}\to [/mm] {a,b,c}
mit
f(1):=a
f(2):=a.
Du könntest jetzt mal [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] aufschreiben,
und dann alle Funktionswerte von [mm] \tilde{f}.
[/mm]
Notiere anschließend mal [mm] \tilde{f}(\{1\}\cap \{2\}), [/mm] sowie [mm] \tilde{f}(\{1\})\cap\tilde{f}(\{2\}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Do 28.10.2010 | | Autor: | Hulpi |
Hallo Angela,
sry wegen meiner Schreibsweise, werds so schnell wie möglich lernen.
Verzeih mir aber ich verstehe das Beispiel leider nicht, aber ich kann sagen was ich mir bis jetzt überlegt hab.
Es geht darum einen Fall zu finden bei dem
[mm]$ \tilde{f}(A\cap B) \subset ( \tilde{f}(A)\cap \tilde{f}(B)), \ A,B\subseteq M $[/mm] ist.
Ich habe mir die leere Menge, [mm]0=A=B[/mm] und verschiedene Beispiele angeschaut. Vielleicht habe ich auch bei den Funktionen falsch verstanden aber es kommt nichts brauchbares raus.
Du hast gesagt ich soll $ [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] $ aufschreiben.
[mm]P(M) ={\emptyset,1,2,M}[/mm]
Mir ist allerdings nicht klar wie das mit den Funktionswerten gemeint ist. Meines Erachtens ist es ja eine bijektive Darstellung d.h. jeder Wert kriegt auch nur genau einen Funktionswert zugeordnet und die hast du ja schon hingeschrieben. Oder meinst du, ich soll auch die Funktionswerte von [mm]\emptyset[/mm] und [mm]M[/mm] selbst aufschreiben :S.
Dem Rest kann ich leider auch nicht ganz folgen.
Gruß,
Roman
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> Es geht darum einen Fall zu finden bei dem
> [mm] \tilde{f}(A\cap B) \subset ( \tilde{f}(A)\cap \tilde{f}(B)), \ A,B\subseteq M [/mm]
> ist.
Hallo,
genau.
> Du hast gesagt ich soll [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] aufschreiben.
für [mm] M=\{1,2}.
[/mm]
> [mm]P(M) ={\emptyset,1,2,M}[/mm]
Nein, das ist nicht richtig.
P(M) ist eine Menge, also [mm] P(M)=\red{\{}...\red{\}},
[/mm]
nämlich die Menge, welche alle Teilmengen von M enthält.
Dies Teilmengen von M sind [mm] \emptyset, \{1\}, \{2\}, [/mm] M.
Beachte, daß 1 keine Teilmenge von M ist. Teilmengen sind Mengen.
1 ist ein Element von M, in Zeichen: [mm] 1\in [/mm] M.
Also ist die Potenzmenge P(M) von M
[mm] P(M)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, M\}.
[/mm]
Nun geh streng nach Vorschrift vor und berechne
[mm] \tilde{f}(\emptyset), [/mm]
[mm] \tilde{f}(\{1\}),
[/mm]
[mm] \tilde{f}(\{2\}),
[/mm]
[mm] \tilde(f)(M).
[/mm]
Zur Erinnerung: [mm] \tilde [/mm] f ist eine Funktion, welche aus der Potenzmenge von [mm] \{1,2\} [/mm] in die Potenzmenge von [mm] \{a,b,c\} [/mm] abbildet.
Es wird also jeder Teilmenge von [mm] M=\{1,2\} [/mm] genau eine Teilmenge von [mm] N:=\{a,b,c\} [/mm] zugeordnet.
Heute ist nicht mein Tag. Die von in meiner Antwort zuvor definierte Funktion ist nicht die, die ich hinschreiben wollte!
Ich weiß nicht, wie das Geschreibsel im Post gelandet ist! Es muß ein böser Zauberer gewesen sein - oder sollte ich heute etwas neben der Spur sein? Ich korrigiere das gleich. Vielleicht verstehst Du dann alles. So wie's dastand, gab's nichts zu verstehen... Leider. Entschuldigung!
Wir wollen also betrachten f: [mm] \{1,2\}\to \{a,b,c\}
[/mm]
mit
f(1)=a
f(2)=a
Ich mache jetzt mal die Berechnung eines Funktionswertes von [mm] \tilde [/mm] f für das Element [mm] \{1\}\in [/mm] P(M) vor:
[mm] \tilde f(\{1\}):=\{f(x):a \in \{1\}\}.
[/mm]
Nun wir haben Glück: das einzige Element in [mm] \{1\} [/mm] ist die 1, und damit haben wir
[mm] \tilde f(\{1\}):=\{f(1)\}=\{a\}.
[/mm]
Berechne jetzt auch mal die anderen drei Funktionswerte.
Und anschließend berechne
[mm] \tilde f(\{1\}\cap\\{2\}) [/mm] und [mm] \tilde f(\{1\})\cap \tilde f(\{2\}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 28.10.2010 | | Autor: | Hulpi |
Ok,
ich versuch das gleich mal. Ich hab übrigens die Idee gehabt, dass es solange die Operation bijektiv ist, es immer gleich sein muss, da es in diesem Fall keine Schnittmenge geben kann, da per Definition jeder Abbildung genau ein Urbild zugeordnet werden muss.
$ [mm] \tilde f(\{2\}):=\{f(x):a \in \{2\}\}. [/mm] $
ich schätze mal die 2 funktioniert analog
$ [mm] \tilde f(\{2\}):=\{f(2)\}=\{a\}. [/mm] $
Die leere Menge enthält soweit ich weiß keine Elemente:
$ [mm] \tilde f(\{\emptyset\}):=\{f(x):b \in \{\}\}. [/mm] $
$ [mm] \tilde f(\emptyset\{\}):=\{f(\)\}=\{b\}. [/mm] $
Die Menge M enthält die Elemente [mm]1,2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \tilde f(\{M\}):=\{f(x):c \in \{1,2\}\}. $
$ \tilde f(M\{\}):=\{f(1)\)\cap f(2)\)\}=\{c\}. $
So das hätten wir, hoffentlich ist es richtig, denn ich bin trotz deines Beispiels noch nicht sonderlich sicher im rechnen mit Funktionen..in der Schule war das irgendwie einfacher =).
$ \tilde f(\{c\}) $\subseteq $ \tilde f(\{a\capc\})\cap \tilde f(\{b\capc}). $
Wenn man das auflöst kommt man glaub ich auf
$ \tilde f(\{c\}) $\subseteq $ \tilde f(\{c\})\cup (\tilde f(\{b}} \cap \tilde f(\{a}})). $
Das war das was ich mir überlegt hab. Wenn die Funktion surjektiv wäre könnte man sagen Links[mm]\subset[/mm]Rechts oder?
Gruß,
Roman
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Hallo,
ich mache Dir das jetzt mal vor,
zunächst erkläre ich Dir, was [mm] \{f(a): a\in A\} [/mm] bedeutet:
das ist die Menge aller f(a), die man bekommt, wenn man für a nacheinander alle Elemente aus A einsetzt.
Beispiel: [mm] A:=\{1,2,3\}, f(x):=x^2 [/mm]
Es ist [mm] \{f(a): a\in A\}=\{f(1), f(2), f(3)\}=\{1,4,9\}.
[/mm]
So, jetzt aber zu dem Beispiel:
wir haben f: [mm] M:=\{1,2\}\to N:=\{a,b,c\}
[/mm]
mit
f(1):=a
f(2):=a.
Es ist [mm] \tilfe [/mm] f: [mm] P(M)\to [/mm] P(N)
mit [mm] \tilde f(A):=\{f(a): a\in A\} [=\{f(x): x\in A\}=\{f(r): r\in A\}]
[/mm]
Es ist [mm] P(M)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}.
[/mm]
[mm] \tilde f(\emptyset)=\{f(x): x\in \emptyset\} [/mm] =
nun gibt's in [mm] \emptyset [/mm] ja überhaupt kein Element, also gibt'sauch nicht dessen Funktionswert unter f. Folglich ist
[mm] \tilde (\emptyset)=\{f(x): x\in \emptyset\} =\emptyset.
[/mm]
[mm] \tilde f(\{1\})=\{f(x): x\in \{1\}\}= [/mm]
in [mm] \{1\} [/mm] gibt's nur das Element 1, also ist
[mm] \tilde f(\{1\})=\{f(x): x\in \{1\}\}= \{f(1)\}=\{a\}.
[/mm]
Ebenso bekommt man
[mm] \tilde f(\{2\})=\{f(x): x\in \{2\}\}= \{f(2)\}=\{a\}.
[/mm]
Und noch
[mm] \tilde f(\{1,2\})=\{f(x): x\in \{1,2\}\}=\{f(1), f(2)\}=\{a,a\}=\{a\}.
[/mm]
Es ist nun
[mm] \tilde f(\{1\}\cap\{2\})=f(\emptyset)=\emptyset,
[/mm]
jedoch
[mm] \tilde f(\{1\})\cap f(\{2\})=\{a\}\cap\{a\}=\{a\}.
[/mm]
> Ok,
>
> ich versuch das gleich mal. Ich hab übrigens die Idee
> gehabt, dass es solange die Operation bijektiv ist, es
> immer gleich sein muss,
Ja, so ist es - Deine Begründung ist ist allerdings nicht nachvollziehbar.
Aus dem Beispiel oben wissen wir jedenfalls, daß wir den Versuch, die Gleichheit der Mengen zu zeigen, gar nicht machen müssen - hierfür müßte man die Voraussetzungen verschärfen.
An einen Beweis der eigentlich zu zeigenden Aussage solltest Du Dich erst machen, wenn Du mein Beispiel komplett verstanden hast.
Gezeigt werden soll ja unter den in der Aufg. gegebenen Voraussetzungen, daß [mm] \tilde{f}(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] ( [mm] \tilde{f}(A)\cap \tilde{f}(B)) [/mm] für alle [mm] A,B\subseteq [/mm] M richtig ist.
Beweis:
Hier ist zu zeigen, daß jedes Element von [mm] \tilde{f}(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] ( [mm] \tilde{f}(A)\cap \tilde{f}(B)) [/mm] auch in [mm] \tilde{f}(A)\cap \tilde{f}(B) [/mm] liegt.
Sei [mm] y\in \tilde{f}(A\cap B)=\{f(a): a\in A\cap B\}.
[/mm]
Dann gibt es ein Element [mm] x\in A\cap [/mm] B mit y=...
Und dann weiter.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 So 31.10.2010 | | Autor: | Hulpi |
Hallo Angela,
tut mir leid das ich mich erst jetzt melde. Ich hab inzwischen versucht einiges aufzuarbeiten, speziell Grundlagen.
Ich werde versuchen die Aufgabe zu lösen und hab auch schon eine Idee =).
Sei $ [mm] y\in \tilde{f}(A\cap B)=\{f(a): a\in A\cap B\}. [/mm] $
Dann gibt es ein Element $ [mm] x\in A\cap [/mm] $ B mit y=f(x)
Ich glaube so könnte ich weiter verfahren. Ich poste den Beweis sobald ich ihn verstanden habe.
Aber schonmal danke für deine Bemühungen, ich bin dadurch gut weiter gekommen.
Gruß,
Roman
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:18 So 31.10.2010 | | Autor: | Hulpi |
So ich glaub ich hab da was,
$ [mm] y\in \tilde{f}(A\cap B)=\{f(a): a\in A\cap B\}. [/mm] $
Dann gibt es ein Element $ [mm] x\in A\cap [/mm] $ B mit y=f(x)
=>[mm]x\in(A)\wedge x\in(B)[/mm]
=>[mm]y=\tilde{f}(x)\in\tilde{f}(A)\wedge\tilde{f}(x)\in\tilde{f}(B)[/mm]
=>[mm]y=\tilde{f}(x)\in\tilde{f}(A)\cap\tilde{f}(x)\in\tilde{f}(B)[/mm]
=>$ [mm] \tilde{f}(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] ( [mm] \tilde{f}(A)\cap \tilde{f}(B)), [/mm] \ [mm] A,B\subseteq [/mm] M $
Ich glaube das ist schlüssig oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 02.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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