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| Aufgabe | | Zu zeigen: [mm] A\subset [/mm] B [mm] \Leftrightarrow A\cup [/mm] B = B |
Hallo.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich habe zum WS 08 mein Mathestudium angefangen. Habe nun unter anderem folgende Aufgabe..! Meine Frage ist, ob das ein Beweis ist:
Beweis: [mm] x\epsilon [/mm] A,B
x [mm] \epsilon [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = x [mm] \epsilon [/mm] A v x [mm] \epsilon [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \epsilon [/mm] B
x [mm] \epsilon [/mm] B [mm] \rightarrow [/mm] x [mm] \epsilon [/mm] B v x [mm] \epsilon [/mm] A = x [mm] \epsilon [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \epsilon [/mm] A [mm] \subset [/mm] B
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Blech |
> Zu zeigen: [mm]A\subset[/mm] B [mm]\Leftrightarrow A\cup[/mm] B = B
> Hallo.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Ich habe zum WS 08 mein
> Mathestudium angefangen. Habe nun unter anderem folgende
> Aufgabe..! Meine Frage ist, ob das ein Beweis ist:
Nein.
>
> Beweis: [mm]x\epsilon[/mm] A,B
Willst Du wirklich voraussetzen, daß x in A und B ist?
> x [mm]\epsilon[/mm] A [mm]\cup[/mm] B = x [mm]\epsilon[/mm] A v x [mm]\epsilon[/mm] B
Was sagt mir das "="? Wenn es ein [mm] "$\Leftrightarrow$" [/mm] sein sollte, stimmt die Aussage.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\epsilon[/mm] B
Aber wieso sollte aus [mm] "$x\in [/mm] A$ oder [mm] $x\in [/mm] B$" folgen, daß [mm] $x\in [/mm] B$?
> x [mm]\epsilon[/mm] B [mm]\rightarrow[/mm] x [mm]\epsilon[/mm] B v x [mm]\epsilon[/mm]
> A = x [mm]\epsilon[/mm] A [mm]\cup[/mm] B
hier ist wieder so ein "=".
Sonst stimmt es aber. x in B, also ist x auch in A oder B.
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] x [mm]\epsilon[/mm] A
Aber wieso sollte x dann in A sein?
Sagen wir A sind die geraden Zahlen und B die ganzen. Dann ist [mm] $A\subseteq [/mm] B$, aber aus [mm] $x\in [/mm] B$ (z.B. x=3) folgt doch nicht [mm] $x\in [/mm] A$ (3 ist nicht gerade).
Nochmal systematisch:
z.z. $ [mm] A\subset [/mm] B \ [mm] \Leftrightarrow A\cup [/mm] B = B $
Wir zeigen Äquivalenz, indem wir beide Richtungen zeigen:
1. [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Gegeben: [mm] $A\subseteq [/mm] B$. D.h. [mm] $\forall x\in [/mm] A$ gilt [mm] $x\in [/mm] B$.
Jetzt zeigen wir die Gleichheit [mm] $A\cup [/mm] B =B$ auch in zwei Teilen (ist ja auch eine Art von Äquivalenz), nämlich [mm] $A\cup B\subseteq [/mm] B$ und [mm] $A\cup [/mm] B [mm] \supseteq [/mm] B$.
1.1 [mm] $\supseteq$:
[/mm]
Trivial. Wenn ich eine Menge mit irgendwas vereinige, kann sie nur größer werden
1.2 [mm] $\subseteq$:
[/mm]
Das zeigen wir, indem wir zeigen, daß [mm] $\forall x\in A\cup [/mm] B$ gilt [mm] $x\in [/mm] B$.
[mm] $x\in A\cup [/mm] B$ heißt [mm] $x\in [/mm] B\ [mm] \vee\ x\in A\backslash [/mm] B$ [mm] ($\hat [/mm] =$ "x in B" oder "x in A, aber nicht in B"). Zweiteres kann aber nicht zutreffen, weil nach Voraussetzung ( [mm] $A\subseteq [/mm] B$ ) aus [mm] $x\in [/mm] A$ folgt, daß [mm] $x\in [/mm] B$.
Also [mm] $x\in [/mm] B$. Fertig.
2. [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Gegeben: [mm] $A\cup [/mm] B = B $
z.z.: [mm] $A\subseteq [/mm] B$ [mm] $\Leftrightarrow$ $x\in [/mm] A\ [mm] \Rightarrow x\in [/mm] B$
...
Die Beweise sind nicht wirklich leicht, gerade weil sie so offensichtlich sind. Die Idee ist, daß Du sauber Schritt für Schritt mit den Definitionen und Sätzen aus der Vorlesung arbeitest.
ciao
Stefan
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OK, danke.
Vielleicht habe ich auch nur falsch notiert. Ich wollte eigentlich folgendes Aussagen:
==>Wenn x ein Element von A oder B ist, folgt daraus dass x ein Element aus B ist, weil A eine Teilmenge von B ist ("in B liegt").
<==Wenn x ein Element von B ist, ist x ein Element von A oder B, weil A eine Teilmenge von B ist.
Wäre das so verbal bewiesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Blech |
> OK, danke.
> Vielleicht habe ich auch nur falsch notiert. Ich wollte
> eigentlich folgendes Aussagen:
> ==>Wenn x ein Element von A oder B ist, folgt daraus dass
> x ein Element aus B ist, weil A eine Teilmenge von B ist
> ("in B liegt").
> <==Wenn x ein Element von B ist, ist x ein Element von A
> oder B, weil A eine Teilmenge von B ist.
>
> Wäre das so verbal bewiesen?
>
Ja.
Das beweist [mm] $A\cup [/mm] B = B$, unter der Voraussetzung, daß [mm] $A\subseteq [/mm] B$, also [mm] "$\Rightarrow$". [/mm] Jetzt fehlt noch die Rückrichtung.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Schneuzle |
Habe das Elementzeichen nicht gefunden, deshlab Epsilon genommen.
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Klick einfach auf das Element zeichen und du siehst wie man es macht ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
