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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Do 12.01.2006 | | Autor: | erdoes |
Hallo zusammen,
stehe im Moment etwas auf dem Schlauch. Und zwar habe ich folgendes Problem bezüglich des Extensionalitätsaxioms und des Aussonderungsaxioms.
Extensionalitätsaxiom:
Zwei Mengen sind genau dann gleich wenn sie dieselben Elemente haben.
Assonderungsaxiom:
Zu jeder Menge A und jeder bel. Bedingung S(x) gibt es eine Menge B, deren Elemente genau jene x aus A sind für die S(x) gilt.
Frage : Möchte zeigen, dass die Menge B nach dem Extensionalitätsaxiom eindeutig ist.
Für Antworten bedanke ich mich schon jetzt.
MfG erdoes
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Hallo,
also sei A eine Menge und [mm] B=\{x\in A\: |\: P(x)\}. [/mm] Zzg. B eindeutig.
Ext sagt ja, dass fuer alle x,y
x=y [mm] \: \Leftrightarrow\: \forall z\: (z\in x\:\Leftrightarrow\: z\in [/mm] y)
Gelte nun fue zwei Mengen [mm] b_1,b_2
[/mm]
[mm] \forall x\: (x\in b_i\:\Leftrightarrow\: (b_i\in A\wedge [/mm] S(x))) (i=1,2)
Zu zeigen ist, dass [mm] b_1=b_2, [/mm] d.h. nach Ext
[mm] \forall [/mm] x [mm] (x\in b_1\:\leftrightarrow\: x\in b_2)
Es gilt
x\in b_1\Leftrightarrow x\in A\wedge S(x)\Leftrightarrow x\in b_2.
Genereller Kommentar:
Gewuenscht ist hier vermutlich, dass aus den Axiomen der Mengenlehre
zu jeder Eigenschaft S(x) die Aussage
\forall x\forall y \forall z (
(\forall a (a\in y\Leftrightarrow (a\in x\wedge S(a))))
\wedge
(\forall a (a\in z\Leftrightarrow (a\in x\wedge S(a))))
)
\Rightarrow y =z
logisch herleitbar ist,
dann musst Du also vor die Umformungen oben den ganzen Wust der
Quantoren noch schreiben.
Gruss,
Mathias
[/mm]
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