Meromorphe Funktionen als KE < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sind die meromorphen Funktionen (über [mm] $\IC$) [/mm] eine algebraische oder transzendente Körpererweiterung über [mm] $\IC$ [/mm] |
Hallo zusammen,
oben genannte Frage ist eine mögliche Prüfungsfrage, in unseren Skripten jedoch nicht wirklich behandelt. Ich bin mir nicht sicher, wie ich meine Antwort richtig begründe. Also intuitive Annahme ist, dass die meromorphen Funktionen als Köper transzendent über [mm] $\IC$ [/mm] sind.
Erster Schritt Konstruktion als Körpererweiterung:
[mm] $\IC(x) [/mm] = Quot [mm] (\IC[x])$, [/mm] dann könnte man die konstanten Funktionen mit den Elementen aus [mm] $\IC$ [/mm] identifizieren. Ist das soweit richtig oder fehlen in [mm] $(\IC[x])$ [/mm] noch die transzendenten, ganzen Funktionen?
Wie würde ich weiter vorgehen, hier Minimalpolynome zu suchen oder Einsetzungshomomorphismus erscheint mir nicht zielführend?
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Hey Skorpinus,
du weißt doch sicher, dass [mm] $\IC$ [/mm] algebraisch abgeschlossen ist, oder?
Was sagt dir das für algebraische Körpererweiterungen [mm] $\IC \subseteq [/mm] K$?
Wie kannst du daraus folgern, dass die meromorphen Funktionen sicher keine algebraische Erweiterung sind?
Wenn dir das nicht weiter hilft benutze deine Konstruktion:
Wäre die Erweiterung algebraisch, so hätten alle Elemente ein Minimalpolynom (endlichen Grades).
Findest du ein Minimalpolynom für $x [mm] \in \IC[x]$ [/mm] - wenn wir wieder deine Konstruktion über den Polynomring nehmen?
lg
Schadow
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Hey Skorpinus,
du weißt doch sicher, dass $ [mm] \IC [/mm] $ algebraisch abgeschlossen ist, oder?
Was sagt dir das für algebraische Körpererweiterungen $ [mm] \IC \subseteq [/mm] K $?
Wie kannst du daraus folgern, dass die meromorphen Funktionen sicher keine algebraische Erweiterung sind?
Den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen... Okay, also [mm] $\IC$ [/mm] ist bekannter Weise algebraisch abgeschlossen, es gibt keine rein algebraischen Erweiterungen, damit muss die Körpererweiterung transzendent sein...
Wenn dir das nicht weiter hilft benutze deine Konstruktion:
Wäre die Erweiterung algebraisch, so hätten alle Elemente ein Minimalpolynom (endlichen Grades).
Findest du ein Minimalpolynom für $ x [mm] \in \IC[x] [/mm] $ - wenn wir wieder deine Konstruktion über den Polynomring nehmen?
1) Also meine Konstruktion ist so erstmal zulässig?
2) Also $x$ wäre transzendentes Element im Körper der Meromorphen Funktionen über [mm] $\IC$, [/mm] das Argument habe ich schon mal gesehen, aber wie genau weißt man es nach? Ich nehme mir alle Polyome über $ [mm] \IC[x]$? [/mm] Heißt das, ich muss $ [mm] \IC[x](y)$ [/mm] quasi betrachten und dann alle Polyome $P(y) = Polynom(x) + Polynom(x)*y + [mm] Polynom(x)*y^2 [/mm] $ betrachten oder reicht es direkt zu zeigen, dass kein Polynom $P(x)$ ungleich dem nullpolyom mit Einsetzung $x$ gleich null ist? Finde hier die Arbeit mit der Konstruktion sehr diffizil...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Do 30.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Hey Skorpinus,
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> du weißt doch sicher, dass [mm]\IC[/mm] algebraisch abgeschlossen
> ist, oder?
> Was sagt dir das für algebraische Körpererweiterungen
> [mm]\IC \subseteq K [/mm]?
> Wie kannst du daraus folgern, dass die
> meromorphen Funktionen sicher keine algebraische
> Erweiterung sind?
>
> Den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen... Okay, also [mm]\IC[/mm]
> ist bekannter Weise algebraisch abgeschlossen, es gibt
> keine rein algebraischen Erweiterungen, damit muss die
> Körpererweiterung transzendent sein...
genau, schliesslich gibt es nicht-konstante meromorphe Funktionen.
> Wenn dir das nicht weiter hilft benutze deine
> Konstruktion:
> Wäre die Erweiterung algebraisch, so hätten alle
> Elemente ein Minimalpolynom (endlichen Grades).
> Findest du ein Minimalpolynom für [mm]x \in \IC[x][/mm] - wenn wir
> wieder deine Konstruktion über den Polynomring nehmen?
>
> 1) Also meine Konstruktion ist so erstmal zulässig?
Sie ist ein Anfang, aber noch lange nicht das Ende  In [mm] $\IC(x)$ [/mm] fehlen sehr viele Funktionen. (Es sei denn du schaust dir meromorphe Funktionen auf der ![[]](/images/popup.gif) Riemannschen Zahlenkugel an, also auf der projektiven Grade ueber [mm] $\IC$. [/mm] Dort sind [mm] $\IC(x)$ [/mm] genau alle meromorphen Funktionen, und jede meromorphe Funktion ohne Polstelle ist nach Liouville konstant.)
Die transzendenten ganzen Funktionen sind uebrigens transzendent ueber [mm] $\IC(x)$. [/mm] Du hast also nach der transzendenten Erweiterung [mm] $\IC(x)$ [/mm] von [mm] $\IC$ [/mm] noch mindestens eine weitere transzendente Erweiterung (je nachdem wieviele Erweiterungen du noch machen willst ).
> 2) Also [mm]x[/mm] wäre transzendentes Element im Körper der
> Meromorphen Funktionen über [mm]\IC[/mm],
Genau.
> das Argument habe ich
> schon mal gesehen, aber wie genau weißt man es nach?
Ist allgemein $K$ ein Koerper, so ist $x [mm] \in [/mm] K(x)$ transzendent ueber $K$. Angenommen es gibt ein Polynom [mm]f \in K[T][/mm] mit $f(x) = 0$ in $K(x)$. Dann ist einerseits [mm]f(x) \in K[x][/mm] ein Polynom von Grad [mm] $\deg [/mm] f$, und andererseits wegen $f(x) = 0$ gilt [mm] $\deg [/mm] f = [mm] -\infty$.
[/mm]
Also muss $f$ bereits das Nullpolynom sein, woraus folgt, dass $x$ transzendent ueber $K$ ist.
> Ich
> nehme mir alle Polyome über [mm]\IC[x][/mm]?
Nein. Du willst ja zeigen, dass $x$ transzendent ueber [mm] $\IC$ [/mm] ist (also nimmst du Polynome ueber [mm] $\IC$), [/mm] und nicht dass es transzendent ueber [mm] $\IC(x)$ [/mm] ist (das ist es nicht, dort hast du das Minimalpolynom $T - x [mm] \in (\IC(x))[T]$).
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Skorpinus |
Ist allgemein K ein Koerper, so ist $ x [mm] \in [/mm] K(x) $ transzendent ueber K. Angenommen es gibt ein Polynom $ f [mm] \in [/mm] K[T] $ mit f(x) = 0 in K(x). Dann ist einerseits $ f(x) [mm] \in [/mm] K[x] $ ein Polynom von Grad $ [mm] \deg [/mm] f $, und andererseits wegen f(x) = 0 gilt $ [mm] \deg [/mm] f = [mm] -\infty [/mm] $.
Okay, macht alles soweit Sinn, mir ist gerade auch nicht mehr klar, warum ich Polynome in $ [mm] \IC [/mm] (x)[y] $ betrachten wollte. Grundlegend irritiert es mich wohl am meisten, dass man mit der Unbestimmten x hier genauso umgeht wie mit einem gewöhnlichen Element einer Körpererweiterung. Wobei das Element ja auch durch Nebenklassen definiert ist usw., also komplizierter als man im Normalfall sieht.. Anyway, vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Skorpinus |
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