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Hallo...
lange war ich nicht hier, hat sich ja einiges geändert. Mein Problem ist folgende Behauptung:
Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$ [/mm] ein Meßraum und $X: [mm] \Omega \rightarrow \IR$ [/mm] eine Abbildung.
$X$ ist [mm] $\mathcal{A},\IB$-meßbar [/mm] genau dann wenn
a) [mm] $\{X\le t\}\in \mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $t\in \IR$.
[/mm]
b) [mm] $X^{-1} [/mm] (O) [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] für alle $O [mm] \subset \IR$ [/mm] offen.
Der Beweis soll aus folgendem Satz folgen:
Ist [mm] $\mathcal{\tilde C} \subset \mathcal{\tilde A}$ [/mm] mit [mm] $\sigma (\mathcal{\tilde C})=\mathcal{\tilde A}$, [/mm] so ist $X: [mm] \Omega \rightarrow \tilde \Omega$ [/mm] genau dann [mm] $\mathcal{A},\mathcal{\tilde A}$-meßbar, [/mm] wenn
[mm] $X^{-1} (\tilde [/mm] C) [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $\tilde [/mm] C [mm] \in \mathcal{\tilde C}$
[/mm]
Wieso folgt die Behauptung aus dem Satz? Das sehe ich leider nicht...
Viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 11.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo...
> lange war ich nicht hier, hat sich ja einiges geändert.
> Mein Problem ist folgende Behauptung:
>
> Sei [mm](\Omega,\mathcal{A})[/mm] ein Meßraum und [mm]X: \Omega \rightarrow \IR[/mm]
> eine Abbildung.
> [mm]X[/mm] ist [mm]\mathcal{A},\IB[/mm]-meßbar genau dann wenn
> a) [mm]\{X\le t\}\in \mathcal{A}[/mm] für alle [mm]t\in \IR[/mm].
> b) [mm]X^{-1} (O) \in \mathcal{A}[/mm]
> für alle [mm]O \subset \IR[/mm] offen.
>
> Der Beweis soll aus folgendem Satz folgen:
> Ist [mm]\mathcal{\tilde C} \subset \mathcal{\tilde A}[/mm] mit
> [mm]\sigma (\mathcal{\tilde C})=\mathcal{\tilde A}[/mm], so ist [mm]X: \Omega \rightarrow \tilde \Omega[/mm]
> genau dann [mm]\mathcal{A},\mathcal{\tilde A}[/mm]-meßbar, wenn
> [mm]X^{-1} (\tilde C) \in \mathcal{A}[/mm] für alle [mm]\tilde C \in \mathcal{\tilde C}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wieso folgt die Behauptung aus dem Satz? Das sehe ich
> leider nicht...
Nun, du musst dir ueberlegen, wie die Borelsche $\sigma$-Algebra $\IB$ aussieht. Konkreter: Du musst zeigen, dass sie
a) von allen offenen Mengen erzeugt wird, und
b) auch von allen Intervallen $\left]-\infty, x]$, $x \in \IR$ erzeugt wird.
(Siehst du, dass wenn du dies gezeigt hast, mit dem Satz das folgt?)
Also schau dir mal eure Definition von $\IB$ an.
LG Felix
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Hallo Felix!
Gut, wenn ich weiß, dass:
[mm] $\sigma ({(-\infty,t]|t\in \IR})=\IB$
[/mm]
[mm] $\sigma({O\subset \IR | O offen })=\IB$,
[/mm]
dann sehe ich es. Und dass die Borel-Sigma-Algebra von diesen Mengen erzeugt wird, hatten wir in der Vorlesung gezeigt.
Nun kommem aber noch zwei Spezialfälle hinzu.
a) Monotone Funktionen
b) Stetige Funktionen
$X: [mm] \IR \rightarrow\IR$ [/mm] sind [mm] $\IB,\IB$-meßbar.
[/mm]
Zu b) ich kenne eine Formulierung der Stetigkeit, die besagt, dass das Urbild einer offenen Menge aus [mm] $\IR$ [/mm] auch offen sein muss, d.h.
X ist stetig <=>
für alle $O [mm] \subset \IR$ [/mm] offen gilt: [mm] $X^{-1}(O)$ [/mm] offen. Also wegen der zweiten obigen Beschreibung von [mm] $\IB$: $X^{-1}(O)\in \IB$ [/mm] und wir haben einen Spezialfall der Behauptung.
Ist das richtig so???
Zu a) fällt mir aber leider keine sinnvolle Umschreibung der Monotonie ein, mit der ich auf die Behauptung kommen könnte. Könnt ihr mir da einen Tipp geben?
dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Sa 11.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gut, wenn ich weiß, dass:
>
> [mm]\sigma ({(-\infty,t]|t\in \IR})=\IB[/mm]
> [mm]\sigma({O\subset \IR | O offen })=\IB[/mm],
>
> dann sehe ich es. Und dass die Borel-Sigma-Algebra von
> diesen Mengen erzeugt wird, hatten wir in der Vorlesung
> gezeigt.
Gut 
> Nun kommem aber noch zwei Spezialfälle hinzu.
> a) Monotone Funktionen
> b) Stetige Funktionen
> [mm]X: \IR \rightarrow\IR[/mm] sind [mm]\IB,\IB[/mm]-meßbar.
>
> Zu b) ich kenne eine Formulierung der Stetigkeit, die
> besagt, dass das Urbild einer offenen Menge aus [mm]\IR[/mm] auch
> offen sein muss, d.h.
> X ist stetig <=>
> für alle [mm]O \subset \IR[/mm] offen gilt: [mm]X^{-1}(O)[/mm] offen. Also
> wegen der zweiten obigen Beschreibung von [mm]\IB[/mm]: [mm]X^{-1}(O)\in \IB[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und wir haben einen Spezialfall der Behauptung.
> Ist das richtig so???
Ja!
> Zu a) fällt mir aber leider keine sinnvolle Umschreibung
> der Monotonie ein, mit der ich auf die Behauptung kommen
> könnte. Könnt ihr mir da einen Tipp geben?
Schau dir mal das Urbild einer Menge der Form $\left]-\infty, t]$, $t \in \IR$ unter einer monotonen Abbildung an. Von welchen Formen kann es sein? (Fallunterscheidung monoton steigend / monoton fallend!)
LG Felix
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Guten Morgen Felix!
Ich habe mir nun mal beispielsweise die Exponentialfunktion angeschaut. Die ist ja monoton steigend. Da ist das Urbild einer Menge der Form [mm] $(-\infty,t],t\in \IR$ [/mm] genau [mm] $(-\infty,t]$, [/mm] also ein Intervall aus [mm] $\IR$. [/mm] Also ist dann [mm] $(-\infty,t] \in \IB$.
[/mm]
Das sehe ich jetzt aber nur an dieser Funktion... ich sehe das "Problem" nicht, wenn $X$ nicht monoton ist. Was passiert beispielsweise mit einer Funktion der Form:
[mm] $f(x)=e^{x}$ [/mm] für [mm] $x\le [/mm] 0$
[mm] $f(x)=e^{x}-1/2$ [/mm] für $x>0$
???
Gibt es eigentlich das(!) Paradebeispiel für nicht monotone Funktionen?
Viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 12.03.2006 | | Autor: | felixf |
Guten Morgen!
> Ich habe mir nun mal beispielsweise die Exponentialfunktion
> angeschaut. Die ist ja monoton steigend. Da ist das Urbild
> einer Menge der Form [mm](-\infty,t],t\in \IR[/mm] genau
> [mm](-\infty,t][/mm], also ein Intervall aus [mm]\IR[/mm]. Also ist dann
> [mm](-\infty,t] \in \IB[/mm].
Das 'zweite' $t$ (aus dem Urbild) ist aber anders als das 'erste' $t$!
> Das sehe ich jetzt aber nur an dieser
> Funktion...
Wieso? Sei $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine monoton steigende Funktion und $t [mm] \in \IR$. [/mm] Setze $s := [mm] \sup\{ x \in \IR \mid f(x) \le t \}$. [/mm] Entweder ist dann $f(s) [mm] \le [/mm] t$ oder $f(s) > t$, aber fuer alle $s' > s$ gilt $f(s') > t$. Fuer alle $s' < s$ gilt jedoch $f(s') [mm] \le [/mm] t$, womit [mm] $f^{-1}(\left]-\infty,t\right])$ [/mm] entweder [mm] $\left]-\infty, s\right]$ [/mm] (falls $f(s) [mm] \le [/mm] t$) oder [mm] $\left]-\infty, s\right[$ [/mm] (falls $f(s) > t$) ist.
> ich sehe das "Problem" nicht, wenn [mm]X[/mm] nicht
> monoton ist. Was passiert beispielsweise mit einer Funktion
> der Form:
> [mm]f(x)=e^{x}[/mm] für [mm]x\le 0[/mm]
> [mm]f(x)=e^{x}-1/2[/mm] für [mm]x>0[/mm]
> ???
Das Urbild ist dann evtl. eine Vereinigung von Intervallen oder auch nur ein grosses Intervall. Je nachdem wie du $t$ waehlst.
Das Problem ist, das so gut wie jede Funktion, die du so hinschreiben kannst, messbar ist. Um eine nicht-messbare Funktion zu finden musst du schon ziemlichen Aufwand betreiben:
Die 'einfachste' Moeglichkeit ist, eine nicht-messare Teilmenge $B [mm] \subseteq \IR$ [/mm] zu nehmen, also $B [mm] \not\in \IB$. [/mm] Dann ist die zu $B$ gehoerende Indikatorfunktion [mm] $1_B [/mm] : [mm] \R \to \R$, [/mm] $x [mm] \mapsto \begin{cases} 1, & x \in B, \\ 0, & x \not\in B \end{cases}$ [/mm] nicht messbar: Das Urbild von [mm] $\{ 1 \} \in \IB$ [/mm] ist $B [mm] \not\in \IB$. [/mm] Um an eine solche nicht-messbare Menge zu gelangen brauchst du allerdings schon recht schwere Geschuetze, etwa das Auswahlaxiom...
> Gibt es eigentlich das(!) Paradebeispiel für nicht
> monotone Funktionen?
Nicht wirklich. Ein Beipspiel fuer eine nicht-monotone Funktion hast du ja schon genannt: Das demonstriert hier schon, warum bei einem Intervall das Urbild kein Intervall sein muss.
Wenn du so ein richtiges 'unmonotones' Beispiel willst, nimm das Standardfunktion fuer eine stetige, aber nicht differenzierbare Funktion (diese Reihe, deren Summanden so Saegezahnfunktionen sind, hast du vielleicht schonmal gesehen), die ist nirgendswo monoton. Oder nimm einen typischen Pfad einer Brownschen Bewegung (falls du sowas kennst), der ist auch nirgends monoton.
Bei diesen Funktionen konkret ein Urbild auszurechnen kannst du allerdings vergessen...
LG Felix
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Hallo Felix...
irgendwie machen sich gerade meine Analysis-Lücken bemerkbar...
> Sei [mm]f : \IR \to \IR[/mm] eine monoton steigende Funktion
> und [mm]t \in \IR[/mm]. Setze [mm]s := \sup\{ x \in \IR \mid f(x) \le t \}[/mm].
> Entweder ist dann [mm]f(s) \le t[/mm] oder [mm]f(s) > t[/mm],
Kannst du mir bitte ein Beispiel für diesen Fall $f(s)>t$ nennen? Ich kann mir es leider gerade gar nicht "vorstellen", dass das überhaupt eintreten kann... Ich selber konnte mir keins erstellen.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 12.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > Sei [mm]f : \IR \to \IR[/mm] eine monoton steigende Funktion
> > und [mm]t \in \IR[/mm]. Setze [mm]s := \sup\{ x \in \IR \mid f(x) \le t \}[/mm].
> > Entweder ist dann [mm]f(s) \le t[/mm] oder [mm]f(s) > t[/mm],
> Kannst du
> mir bitte ein Beispiel für diesen Fall [mm]f(s)>t[/mm] nennen? Ich
> kann mir es leider gerade gar nicht "vorstellen", dass das
> überhaupt eintreten kann... Ich selber konnte mir keins
> erstellen.
Kann ich tun. Also die Funktion darf natuerlich nicht stetig sein an dieser Stelle. Das wohl einfachste Beispiel ist: $f(x) = 0$ fuer $x < 0$ und $f(x) = 1$ fuer $x [mm] \ge [/mm] 1$.
Fuer $t = 0$ ist [mm] $\sup\{ x \mid f(x) \le t \} [/mm] = [mm] \sup\{ x < 0 \} [/mm] = 0$, aber $f(0) = 1$.
(Funktionen, bei denen sowas auftritt, sind z.B. nicht-stetige Verteilungsfunktionen von reellwertigen Zufallsvariablen; die sind immer stetig von rechts, wenn sie also nicht stetig sind, dann geht es gerade so schief wie bei dem Beispiel. Das Beispiel ist uebrigens die Verteilungsfunktion einer Dirac-verteilten ZV mit Masse im Punkt $x = 0$, also einer konstanten Zufallsvariablen, die immer den Wert $0$ annimmt: Ist $t < 0$, so ist $P(X [mm] \le [/mm] t) = 0$, und ist $t [mm] \ge [/mm] 0$, so ist $P(X [mm] \le [/mm] t) = 1$.)
LG Felix
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Hallo...
Nur noch eine kleine Anmerkung:
Das wohl einfachste Beispiel
> ist: [mm]f(x) = 0[/mm] fuer [mm]x < 0[/mm] und [mm]f(x) = 1[/mm] fuer [mm]x \ge 1[/mm].
Ich hoffe du meinst die Funktion:
$f(x)=0$ für $ x<0$
$f(x)=1$ für $ [mm] x\ge0$
[/mm]
sonst macht für $t=0$ $f(s)=1$ keinen Sinn, oder?
dancingestrella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Di 14.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hi,
> Nur noch eine kleine Anmerkung:
> Das wohl einfachste Beispiel
> > ist: [mm]f(x) = 0[/mm] fuer [mm]x < 0[/mm] und [mm]f(x) = 1[/mm] fuer [mm]x \ge 1[/mm].
>
> Ich hoffe du meinst die Funktion:
> [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x<0[/mm]
> [mm]f(x)=1[/mm] für [mm]x\ge0[/mm]
Genau die meine ich
LG Felix
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