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Hallo...
bitte helft mir. Wir haben einen kleinen Ausflug in die Maßtheorie gemacht und ich verstehe noch nichts.
Könnt ihr mit Tipps geben um folgende Aufgabe zu lösen?
Behauptung:
Monotone Funktionen sind meßbar.
Beweis:
Zuerst brauchen wir bestimmt die Definition von monotonen Funktionen, also:
f heißt monoton wachsend, falls für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: f(x) [mm] \le [/mm] f(x+1).
f heißt monoton fallend, falls für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: f(x) [mm] \ge [/mm] f(x+1).
Außerdem wissen wir, dass f genau dann meßbar ist, wenn {x| f(x) > a} für jedes a [mm] \in \IQ [/mm] meßbar ist. Kann man diesen Satz benutzen? Und wie?
Jetzt habe ich keine Ahnung wie ich den Beweis führen soll.
Bin für jeden Tipp dankbar 
viele Grüße, dancingestrella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Sa 11.06.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo!
Diese Definition von Monotonie finde ich etwas merkwürdig. Zunächst mal: Was bedeutet in einem abstrakten Raum $X$ $x+1$? Schon bei einem ganz einfachen Beispiel - dem [mm] $\IR^2$ [/mm] - ist nicht klar, was "1" eigentlich ist!
Außerdem fällt diese Definition im Fall [mm] $X=\IR$ [/mm] nicht mit der "herkömmlichen" Definition zusammen.
Wahrscheinlich muss $X$ zumindest eine total geordnete Menge sein. Ist $X$ ein normierter Raum?
Gruß, banachella
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Hallo banachella!
Na klar... wie dumm von mir: da habe ich etwas gewaltig mit der Monotonie von Folgen durcheinander gebracht.
Also, die richtige Definition müsste ja lauten:
Es sei f:(a,b)-> [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
f heißt in (a,b) mononton wachsend, falls gilt f'>0 in (a,b).
f heißt in (a,b) monoton fallend, falls gilt: f'<0 in (a,b).
Und: ohoh... ich sehe gerade, dass die Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] gehen sollen.
Betrachten wir nur mal den Fall monoton wachsend:
Wir wissen: Es gilt $f'(x)>0$ für alle [mm] $x\in \IR$.
[/mm]
Wir wissen außerdem: Eine Funktion $f: X -> [mm] \IR$ [/mm] ist genau dann meßbar, wenn für jedes $a [mm] \in \IQ$ [/mm] die Mengen ${x| f(x) >a}$ meßbar in $X$ sind.
Jetzt kann ich doch erstmal $X$ (=Meßraum) mit [mm] \IR [/mm] gleichsetzen, oder? [mm] \IR [/mm] ist doch ein Meßraum, oder?
Aber wie bringe ich jetzt eben diesen Satz und die Tatsache, dass f monoton wachsend ist zusammen mit dem Ergebnis, dass eine monotone Funktion f meßbar ist???
Bin über jeden Tipp dankbar...
viele Grüße, dancingestrella
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Wenn tatsächlich $X=\IR$, wird alles etwas einfacher...
$\IR$ alleine ist eigentlich noch kein Messraum. Um einen Messraum zu haben, brauchst du eine $\sigma$-Algebra, damit du weißt, welche Mengen messbar sind. Als $\sigma$-Algebra könnte man hier beispielsweise die von den Borelmengen erzeugte $\sigma$-Algebra verwenden...
Man sollte auf jeden Fall nicht voraussetzen, dass $f$ differenzierbar ist. Dann ist $f$ nämlich stetig und damit automatisch messbar. Außerdem würde $f'>0$ bedeuten, dass $f$ streng monoton steigend ist. Und das ist gar nicht notwendig...
Setzen wir also folgende Definition von Monotonie voraus:
$f:\ \IR\to\IR$ heißt monoton wachsend, falls für alle $x,y\in\IR$, $x\le y$ gilt: $f(x)\le f(y)$.
$f$ heißt monoton fallend, falls $-f$ monoton wachsend ist.
Wir können ohne Einschränkung voraussetzen, dass unsere Funktion monoton wachsend ist.
Sei nun $a\in\IQ$. Setze $K:=\{x:\ f(x)\}>a\}$. Jetzt kann man folgende Fälle unterscheiden:
1. $K=\IR$. Folglich ist $K$ messbar.
2. $K=\emptyset$. Wieder ist $K$ messbar.
3. $K\ne \IR,\ K\ne\emptyset$. Wegen der Monotonie gilt: Ist $x\le y$, $x\in K$, so ist $y\in K$. Deshalb ist $x_0:=\inf \{x:\ x\in K\}\in\IR$ und entweder $K=[x_0;\infty)$ oder $K=(x_0;\infty)$. Beides sind Borelmengen, also ist $K$ messbar.
Ist dir der Beweis klar?
Gruß, banachella
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