Meßbarkeit, Borelsche Algebra < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:55 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Sophiechen |
Hallo erstmal ans gesamte Forum. Ich habe hier eine stochastik Aufgabe mit der ich hilflos überfordert bin. Wäre super wenn mir jemand von Euch helfen könnte. Schon jetzt bedanke ich mich für alle Tipps und Lösungsvorschläge, -ansätze. Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
a) Zeigen Sie, dass die Funktion g: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] meßbar bezüglich der Borelschen [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \mathcal{B}^{2} [/mm] ist.
b) Zeigen Sie, dass die Borelsche [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \mathcal{B}^{2} [/mm] von dem folgenden Mengensystem erzeugt wird:
[mm] \Varebsilon_{3} [/mm] := [mm] {K_{r}(a) := {x \in \IR^{2} : \parallel x - a \parallel < r}, r > 0, a \in \IR^{2}} [/mm]
Hinweis: Benutzen Sie a) für die eine Inklusion und für die andere überlegen Sie sich, wie man offene Intervalle (a, b), a < b als abzählbare Vereinigung von Kreisen darstellen kann.
c) Zeigen Sie die Meßbarkeit folgender Funktion:
f : [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2} 1_{{ \parallel x \parallel <1}} [/mm] + 2 [mm] *1_{{ \parallel x \parallel <1}}.
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie etwa, dass die Hintereinanderschaltung meßbarer Abbildungen wieder meßbar ist oder benutzen Sie b)
Liebe Grüße, Sophie
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Sophiechen!
Du musst uns erst mitteilen, wie ihr die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] im [mm] $\IR^n$ [/mm] genau definiert habt. Definiert man sie, wie so häufig, über die Eigenschaft: die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die alle offenen Mengen enthält, wäre alles trivial. Von daher nehme ich an, dass ihr das Ganze über (offene? rechtshalboffene? oder wie genau?) Quader definiert habt.
Könntest du das bitte mal ergänzen? Danke!
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Sophiechen |
Hallo Julius.
Wir hatten eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra folgendermaßen definiert:
Sei [mm] \Omega \not= \emptyset [/mm] , ein System [mm] \mathcal{A} \subseteq P(\Omega) [/mm] heißt [mm] \sigma [/mm] - Algebra genau dann, wenn:
1) [mm] \Omega \in \mathcal{A}
[/mm]
2) B [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow B^{C} \in \mathcal{A}
[/mm]
3) [mm] B_{i} \in \mathcal{A} [/mm] , i [mm] \in \IN \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{ \infty} B_{i} \in \mathcal{A}
[/mm]
und speziell eine Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra :
Sei [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR^{k} [/mm] für a [mm] \le [/mm] b, a,b [mm] \in \IR^{k} [/mm] (komponentenweise)
(a,b] := {x [mm] \in \IR^{k} [/mm] | [mm] a_{i} [/mm] < [mm] x_{i} \le b_{i}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k}
[mm] \mathcal{E} [/mm] := {(a,b] | a,b [mm] \in \IR^{k} [/mm] , a [mm] \le [/mm] b}.
Dann heißt [mm] \sigma [/mm] ( [mm] \mathcal{B}) \IB^{k} [/mm] Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
[mm] \mathcal{O} [/mm] := {a [mm] \subset \IR^{k} [/mm] | A offen} dann gilt [mm] \IB^{k} [/mm] = [mm] \sigma (\mathcal{O})
[/mm]
Liebe Grüße, Sophie
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