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| Aufgabe | Sei [mm] X=\IR^{2} [/mm] und d die euklidische Metrik, d((a,b),(c,d))= [mm] \wurzel[1]{(a-c)^{2} + (b-d)^{2}}
[/mm]
sei p:X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] p(x,y)=\begin{cases} d(x,y), & \mbox{für Gerade durch x,y enthält (0,0)} \\ d(x,0)+d(0,y), & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Zeige, dass p eine Metrik ist. |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.
Zu zeigen ist ja, dass
(M1) p(x,y)=0 <=> x=y
(M2) p(x,y)=p(y,x)
(M3) p(x,y) [mm] \le [/mm] p(x,z) + p(z,y)
und zwar jeweils für die beiden Fälle [mm] p(x,y)=\begin{cases} d(x,y), & \mbox{für Gerade durch x,y enthält (0,0)} \\ d(x,0)+d(0,y), & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Weitestgehend hat mir das auch keine Probleme bereitet. Problematisch war für mich nur zu zeigen, dass für den 2.Fall ( p(x,y)=d(x,0)+d(0,y) ) die Richtung <= von (M1) gilt.
Also:
x=y => p(x,y) = p(x,x) = d(x,0) + d(0,x) = [mm] \wurzel[1]{(x_{1}-0)^{2} + (x_{2}-0)^{2}} [/mm] = 2 [mm] \wurzel[1]{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} [/mm] ...
Weiter bin ich leider nicht gekommen. Außerdem fehlen mir jegliche Ideen um (M3) in beiden Fällen zu zeigen.
Würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet, obwohl Ostern ist 
Danke schon mal.
Gruß, Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 So 16.04.2006 | | Autor: | vanguard2k |
Ich habe etwas nicht ganz verstanden: Nämlich die Fallunterscheidung
WELCHE Gerade ist hier gemeint?
Ich kann ja immer eine konstruieren, die durch (0,0) geht.
Mfg
Michael> Sei [mm]X=\IR^{2}[/mm] und d die euklidische Metrik, d((a,b),(c,d))=
> [mm]\wurzel[1]{(a-c)^{2} + (b-d)^{2}}[/mm]
>
> sei p:X [mm]\times[/mm] X [mm]\to \IR[/mm] mit [mm]p(x,y)=\begin{cases} d(x,y), & \mbox{für Gerade durch x,y enthält (0,0)} \\ d(x,0)+d(0,y), & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Zeige, dass p eine Metrik ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.
>
> Zu zeigen ist ja, dass
>
> (M1) p(x,y)=0 <=> x=y
> (M2) p(x,y)=p(y,x)
> (M3) p(x,y) [mm]\le[/mm] p(x,z) + p(z,y)
>
> und zwar jeweils für die beiden Fälle [mm]p(x,y)=\begin{cases} d(x,y), & \mbox{für Gerade durch x,y enthält (0,0)} \\ d(x,0)+d(0,y), & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Weitestgehend hat mir das auch keine Probleme bereitet.
> Problematisch war für mich nur zu zeigen, dass für den
> 2.Fall ( p(x,y)=d(x,0)+d(0,y) ) die Richtung <= von (M1)
> gilt.
> Also:
>
> x=y => p(x,y) = p(x,x) = d(x,0) + d(0,x) =
> [mm]\wurzel[1]{(x_{1}-0)^{2} + (x_{2}-0)^{2}}[/mm] = 2
> [mm]\wurzel[1]{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}[/mm] ...
>
> Weiter bin ich leider nicht gekommen. Außerdem fehlen mir
> jegliche Ideen um (M3) in beiden Fällen zu zeigen.
>
> Würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet, obwohl
> Ostern ist
>
> Danke schon mal.
>
> Gruß, Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Mo 17.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> Ich habe etwas nicht ganz verstanden: Nämlich die
> Fallunterscheidung
>
> WELCHE Gerade ist hier gemeint?
Die durch $x$ und $y$.
> Ich kann ja immer eine konstruieren, die durch (0,0)
> geht.
Jo er hat das ein wenig missverstaendlich ausgedrueckt 
Ich formulier es mal um: Der erste Fall $p(x, y) = d(x, y)$ tritt genau dann ein, wenn es eine Gerade durch $(0, 0)$ gibt, die auch $x$ und $y$ enthaelt. Oder anders gesagt, wenn [mm] $\dim_\IR \langle [/mm] x, y [mm] \rangle_\IR [/mm] < 2$ ist.
Diese Metrik wird uebrigens auch oft als Franzoesische Eisenbahnmetrik bezeichnet, mit folgender Geschichte als Begruendung: In Frankreich gibt es demnach nur Bahnverbindungen von Paris aus sternfoermig durchs Land. Wenn man also von $A$ nach $B$ will, hat man entweder Glueck und beide liegen an der gleichen Verbindung aus Paris raus, oder man muss erstmal nach Paris fahren und dann von dort aus zum Ziel.
LG Felix
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Hallo Patrick,
zumindest Teil M1 ist doch schnell beantwortet: wenn $x=y$ ist, dann tritt automatisch der Fall $p(x,y)=d(x,y)=0$ ein.
M3 ist anschaulich klar, allerdings fällt mir jetzt auch gerade kein kompaktes argument ein.
VG
Matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 18.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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